四维笛卡尔坐标系与四维空间.doc

学号：2020207210
哈尔滨师范大学
学士学位论文
题 目 四维笛卡尔坐标系和四维空间
学 生 吴国明
指导老师 杜 娟 副教授
年 级 2020级
专 业
___数学科学学院___院（系）主任(签字)
　　　　年 月
学 士 学 位 论 文
题 目 四维笛卡尔坐标系和四维空间
学 生 吴国明
指导老师 杜 娟 副教授
年 级 2020级
专 业 数学和应用数学
系 别 数学系
学 院 数学科学学院
哈尔滨师范大学
年 月
四维笛卡尔坐标系和四维空间
吴国明
摘要：在解析几何学的创立之初，大数学家笛卡尔给出了颠覆整个几何学的研究工具--笛卡尔标架，特别是在二维空间下的平面直角坐标系和三维空间下的空间直角坐标系。其本质上都是两两互相垂直的数轴。本文以此为切入点，借助特别的四面体建立四维空间下的四维笛卡尔直角坐标系，以方便对四维空间的研究。在给出四维空间直角坐标系的之后又给出几个特殊的四维空间下的图形--超立方体、甲长方体、邻一长方体、邻二长方体、对一长方体、对二长方体、—-四维空间下特殊图形的欧拉公式及几个特殊图形的面积和体积。在论文的最后还给出了几个猜测，方便以后再做类似论文时着手。（精品文档请下载）
关键词：四维空间 四维空间直角坐标系 直角坐标系 笛卡尔
解析几何的创始人笛卡尔在创立解析几何之前给出了笛卡尔标架，特别是平面解析几何学当中的二维直角坐标系即平面直角坐标系，和空间解析几何学中的三维直角坐标系即空间直角坐标系。这些都是我们熟知的，在初等数学的学****中我们就可以纯熟使用。本文以此为根底给出四维笛卡尔直角坐标系,和其中的部分图形和一些简单性质。
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四维笛卡尔直角坐标系的建立
O
A
B
C
D
5
5
5
4
3
A
B
C
D
5
5
5
首先，我们来分析一下二维直角坐标系和三维直角坐标系。我们知道在高维空间中建立低维直角坐标系是很容易的，然而在低维空间中要想建立起高维坐标系就不那么容易了。由平面中建立空间直角坐标系的思想我们可以知道，假设想在低维空间中建立高维直角坐标系,这个低维空间只能比高维空间低一维。例如：在二维空间下可以建立起三维直角坐标系，但是在一维空间中却无法建立三维空间直角坐标系。因此我们在建立四维直角坐标系时需要在三维空间下进展。那么如何将一个四维直角坐标系展如今我们的二维的纸面上呢？这里我们借助一个特殊的立体图形——四面体(如图（1）所示）在二维平面上支撑起一个三维空间,然后再建立四维直角坐标系。（精品文档请下载）
3
3
图(1）
图（2）
在四面体ABCD内取一点O，0点到A的间隔 为3，到B的间隔 为3，到C的间隔 为3，到D的间隔 为4。（精品文档请下载）
连接OA、OB、OC、OD，如图(2），OA、OB、OC、OD，两两互相垂直.（精品文档请下载）
图（3）
w
y
z
x
O
我们做这样的变动，将OA、OB、OC、OD改为数轴,（如图（3）所示）我们便得到了一个两两互相垂直的数轴，这便是一个四维笛卡尔直角坐标系。（精品文档请下载）
只不过这一坐标系的每一个坐标轴都只有正半轴和原点，因此只反映了四维空间中的一部分，但这并不影响我们对四维空间的研究，就像我们的对三维空间进展研究的时候我们通常只画出三维空间直角坐标系的第一卦限一样,我们将坐标轴分别命名为，这里我将这一空间——（)0、
0、0、0称为第一空间。那么这样就会有一个问题——二维空间直角坐标系将二维二维空间分为四个象限,三维空间直角坐标系将三维空间分为八个卦限，那么四维空间直角坐标系将四维空间分成几个部分呢？（精品文档请下载）
四维空间直角坐标系的特点
我们已经将这个直角坐标系的各个坐标轴分别命名为坐标表示为()。显然
假设0那么表示原点.
假设中有三个为0便是一维坐标系上的点——数轴上的点.
假设中有两个为0便是二维坐标系中的点——平面直角坐标系中的点。
假设中只有一个为0便是三维坐标系中的点——空间直角坐标系中的点.
这里的都分别可以取正负两种可能值，由统计知识课知，这样的组合有=