数列求和(倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等).docx

考点 4 数列求和(倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、
分组求合法等)
1 - ( 2015江苏苏州市高三上调考)已知数列｛ an ｝共有2k项(2 < k且k eN*),数列｛ an ｝
的前n项的和为sn，满足a1 =2, an的等差数列 且 Sn=(—)2 对 n€ N 成立.
｛ an｝ 的前 n 项之和为 Sn，
求常数k的值以及数列｛ an｝的通项公式；
设数列｛an｝中的部分项3ki， 3k2，ak3， akn，，恰成等比数列，其中 k =2, , k3
=14,求 a1k1+ a2k2+ + ankn 的值.
考点】等差数列或等比数列中的基本量问题；错位相减法与裂项相消法
【解】⑴法一：条件化为2 Sn= an+ k对n€ N*成立.
设等差数列公差为d,则2”必钿=a+ (n—1)d + k.
3
2 a. ①
ii
分别令 n= 1,2, 3 得： 2
2a1 d a1 d k ②
2 3a~3d a1 2d k③
由①+③—2 ②得，..云
3a-3d 2 2a1 d .两边平方得
4a1+d=2 3a123a1d
两边再平方得，4a/— 4a1d + d2=0 •解得d= 2內.
代入②得，4. q = 3ar+ k，④
由④一①得，印二；a1 .所以a1 = o,或a1 = 1.
又当 a1 = 0时， d = a1 = 1, d= 2
代入①得 k= 1
而当 k= 1, a1 = 1,
2
d = 2 时，Sn= n , an= 2n—1，等式 5=(J
A k2 )
)对 n €
*
N 成立
所以 k= 1, an= 2n—1.
法二：设等差数列的首项为A1，公差为d,
则 Sn=g+ 咛人=即 2+@- 2)n an= a1+ (n—1)d= dn+ (a — d)-.
代入愛号)2得，2『+⑻-2)n=汕七+k-d)]2,
即 2 d n 2+2(242a 1 — 2d)n= d n+ 2d(a1+ k— d)n+(a+ k— d).
因为上面等式对一切正整数n都成立，所以由多项式恒等可得，
2d d2
4a1 2d 2d (a. k d)
a1 k d 0
d 2
因为dz 0,所以解得， a 1所以常数k = 1,通项公式an=2n—1 .
k 1
⑵设Cn= ak.，则数列｛ cn｝为等比数列，且g= ak二a2=3, q= ak「a)4= 27 .故等比 数列｛ cn｝的公比q满足q2= C3 =9 .
C1
又 Cn >0,所以 q= Cn= C1qn—1=3 3n—1 = 3n.
又 Cn= akn = 2kn—1，所以 2kn—1 = 3口 •
1
由此可得k= —23n +
ankn=
2n 1 3n
3*1+ a?k2+
+ ankn (
1 131 所以) (3
2n 1
3+
2
32 -)(5 33 -)
2 2 2
L I"
1[1 3 5 L (2n
2
红 3 1[1 31 3
2 2 32
1
1)] -[1 31 3 32
2
33L (2n 1) 3n]
33 L (2n 1) 3n]
法一：令 S 1 31
3 32 5 33 L (2n 1) 3n ,
则 3S 1 32+3 33 + L
+ (2 n
3) 3n+(2
1) 3n 1,
两式相减得：2S=3+2
32 + 2
33+L +2
3n (2n 1)
3n 1 ,
1 c 3(1 3n)
13-
3 (2n
1) 3n1
1
2
3(1
3n) 3 (2n 1)
3n1
1 2(n
1) 3n
6 (n
1) 3n 1
3,代入得
a1k1+a2k2 + L
+
(n
2
1) 3n1
(n 1) 3n 1 n2 3
2
法二：因为
(2 k 1)
3k
[(k
1)
2] 3k 1 (k 2)
3k (k 1)
3k 1
(k
2) 3k
.所以S
[0
32
1) 31] [1 33 0
32] [2 34
[(n
1) 3n 1
(n
2)
3n]
=(n—1) 3n+1 +
3 . 代入得 a1k1 + a2k2+
+ ankn
(n
1) 3n 1
1
n2
(n 1) 3n 1 n2 3