求方程根的近似方法.ppt

f(x)=0的根(或f(x)的零点)，当f(x)复杂时，很难求（需要找到有效简单的近似方法去求）。
第二章 求方程根的近似方法
§ 二分法
理 论: f(x) ∈ C[a,b], 单调, f(a)f(b)<0
f(x)=0的根(或f(x)的零点)，当f(x)复杂时，很难求（需要找到有效简单的近似方法去求）。
第二章 求方程根的近似方法
§ 二分法
理 论: f(x) ∈ C[a,b], 单调, f(a)f(b)<0
f(x)=0在(a,b)中有惟一根。
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a
b
x1
x2
a
b
何时停下来?
或
不能保证 x 的精度
x*
2
x
x*
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解：
f(1)=-5<0 有根区间 中点xn
f(2)=14>0 -(1,2)+ x1=
f()>0 (1,) x2=
f()<0 (,) x3=
f()>0 (,) x4=
f()<0 (,) x5=
f()<0 (,) x6=
f()<0 (,) x7=
f()>0 (,) x8=
用二分法求 在(1,2)内
的根，要求绝对误差不超过
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，则
（事后估计）
误差 分析：
第1步产生的
有误差
第 k 步产生的 xk 有误差
对于给定的精度  , 可估计二分法所需的步数 k ：
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缺点：收敛速度慢，
不易求偶数重根.
如图
注：用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大概位置。或用搜索程序，将[a, b]分为若干小区间，对每一个满足 f (ak)·f (bk) < 0 的区间调用二分法程序，可找出区间[a, b]内的多个根，且不必要求 f (a)·f (b) < 0 。
y
x
优点：条件和方法简单(只要求f(x)连续即可)，方法收敛；
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一. 迭代法的建立与收敛性
所以, 为f的根的充要条件是为的不动点。
§ 迭代法
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前者收敛：; ; ; ; ;
; ; ; ;…
后者发散: ; ; ; …
问题：何时收敛？
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x
y
y = x
x
y
y = x
x
y
y = x
x
y
y = x




y=(x)
y= (x)
y= (x)
y= (x)
x0
p0
x1
p1

x0
p0
x1
p1

x0
p0
x1
p1

x0
p0
x1
p1

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注1：L越小，收敛越快。
由定理结论(3)或()，只要前后两次迭代值的差值足
够小，就可使近似值 达到任意的精度。在实际计算
中，一般用 来控制迭代过程结束。
注2：定理条件非必要条件，可将[a, b]缩小，定义局部收敛性：
若存在  的某 邻域 B = { x | | x   |   } , 使由x0B 开始的迭代都收敛, 则称迭代法具有局部收敛性。
设(x)在的某邻域内具有连续的一阶导数，
且 | '() | < 1，
则迭代法xn+1 = (xn)具有局部收敛性。
证明 省略