大值与最小值,极值的应用问题.ppt

微积分讲义
设计制作
王新心
2022/8/17
§　最大值与最小值，
（一）最大值与最小值
（二）极值应用问题举例
极值的应用问题
2022/8/17
（一）最大值与最小值
第四章 中值定理与导数的应用微积分讲义
设计制作
王新心
2022/8/17
§　最大值与最小值，
（一）最大值与最小值
（二）极值应用问题举例
极值的应用问题
2022/8/17
（一）最大值与最小值
第四章 中值定理与导数的应用
函数　　在闭区间　　上连续，
该区间上必取得最大值与最小值。
则函数在
函数的最大
（小）值与函数的极大（小）值是不同的概念。
是区间　　上的最大（小）值，
是指
是区间　　上所有函数值中最大（小）者
而　　是区间　　上的极大（小）值，
是指
2022/8/17
第四章 中值定理与导数的应用
者。
可见最大（小）值是区间　　上的全局
中的所有函数值中的最大（小）
概念，
是包含在　　内的一个　的　邻域
个邻域的局部概念。
而极大（小）值则是区间　　内　的一
2022/8/17
第四章 中值定理与导数的应用
大值与最小值的步骤：
（1）求出函数的全部驻点和不可导的点；
（2）计算这些点的函数值及区间端点的
（3）比较它们的大小，
函数值　　　　　；
一般而言，
其中最大（小）者
即区间　　上的最大（小）值。
求连续函数在区间　　上的最
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第四章 中值定理与导数的应用
内可导，
而无极小值，
则此极大值即最大值。
特别的，
若　　在　　上连续，
在
若　　在　　内有且仅有一个极大值
而无极大值，
则此极小值即最小值。
若　　在　　内有且仅有一个极小值，
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第四章 中值定理与导数的应用
例1　求　　　　　　在区间　　　上的
最大值与最小值。
解　在§　　在驻点
处取到极小值　　　　，
在导数不存在的点
处取得极大值　　　　。
计算区间端点处的函数值
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第四章 中值定理与导数的应用
比较这些值的大小：
得　　在　　　上　　　处取得最小值
在　　及　　　处取得最大值
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（二）极值应用问题举例
第四章 中值定理与导数的应用
四角各截去一个大小相同的小正方形，
然后将
四边折起做成一个无盖方盒，
问截掉的小正方
形边长为多大时，
所得方盒的容积最大？
例2　将边长为　的一块正方形铁皮，
方盒的容积为
解　设小正方形的边长为　，
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第四章 中值定理与导数的应用
求得
令
得
因为只有点　　　在区间　　内，
所以
只需对　进行检验。
当　　　　时，
当　　　　时，
也是最大值
所以函数　在点　　处取得极大值，
即当截去的小正方形的边长等于所给正方形铁
皮边长的　时，
所做成的方盒容积最大。
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第四章 中值定理与导数的应用
例3　要做一个容积为　的圆柱形罐头筒，
怎样设计才能使所用材料最省？
解　显然要材料最省，
就是要
罐头筒的总表面积最小。
设罐头筒的
底面半径为　，高为　，
总表面积为
由体积公式有
所以
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第四章 中值定理与导数的应用
得
此时高为
也是最小值
令
又
因此　在点　　　　处为极小值，
即当罐头筒的高和底直径相等时，用料最省。
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第四章 中值定理与导数的应用
例4　在§，
曾求得一年中库存
费与生产准备费的和　　与每批产量　的函数
关系为
其中　为年产量，　为每批次的生产准备费，
为每台产品的库存费，
问在不考虑生产能力
的条件下，
每批生产多少台时，
最小？
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第四章 中值定理与导数的应用
解
因为
取得极小值，也是最小值。
（舍去）
即要使库存费与生
令
有
所以
又因
因此当　　　　时
产准备费之和最小的最优批量应为　　　。
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内容小结
连续函数的最值
最值点应在极值点和边界点上找
作业　P196 20---31
第四章 中值定理与导数的应用
应用题可根据问题的实际意义判别
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备用题
第四章 中值定理与导数的应用

试求
在　　上的最大值　　　和
解
令
得　　内唯一的驻点
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第四章 中值定理与导数的应用
最大值为
也是最大值点。
故　　　　是极大值点，
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