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与三角形有关的角
第 2 讲 与三角形有关的角（）一、知识重点
1．三角形内角和定理
定理：三角形三个内角的和等于 180 °.
证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，
，也是三角形中重要
的角，一
个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形
的角是指的三角形的内角，这点要注意．
【例 3 】 在△ ABC中，∠A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于∠B
的两倍，那么∠

A＝

，∠

B＝

，∠

C＝

.
解析：∠A和与它相邻的外角互为邻补角，∠A 又等于和它相邻的外角的四分
之一，所以∠

A＝

36 °的，外∠A角为

144 °，所以∠

B＝

72 °，根据三角形内角和为
180 °，可以求得∠

C＝

72 °.
答案：

36 °

72

°

72

°

(1) 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．如图所示：∠ 1 ＝∠
＋∠ C( 或∠ B＝∠ 1 －∠ C，∠ C＝∠ 1 －∠ B) ．
注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是
一半数目外角
的和 .
作用：①求角的度数，在外角、不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出相邻内角的度数；
②证明角相等，一般是把外角作为中间关系式证明角相等．
析规律 三角形外角的性质的理解 ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和，是由三角形内角和是 180 °和邻补角关系推导出来的，是它们应用的延伸，所以用这个性质能得出的结论，用三角形内角和也能推出，但走了弯路．②因为三角形外角是通过图表现出来的，具有隐蔽性，所以应用时要注意观察图形．
【例 4 】 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠ 2＝
__________.
解析：由三角形外角性质定理可知，∠

1 ＝

90 °＋∠

AED，∠

2 ＝

90 °＋∠

ADE
所以∠1
＋∠

2 ＝

90 °＋∠

AED＋

90 °＋∠

ADE.
因为

90 °＋∠

AED＋∠

ADE＝

180

°，
所以∠

1 ＋∠

2 ＝

180

°＋

90 °＝

270 °.
答案：

270 °
5．三角形外角和
(1)定义 (规定 )：如图所示，在每一个顶点上取一个外角，如∠
1，∠ 2，
3 ，它们的和
叫做三角形的外角和．
(2) 三角形外角和定理：三角形的外角和等于 360 °.
注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和．
【例 5 】 如图所示．用两种方法说明∠ 1 ＋∠ 2 ＋∠ 3 ＝ 360 °
.
分析：方法一：根据同顶点的外角与内角互为邻补角和三角形内角和定理证
明；
方法二：根据一个外角等于和它不相邻的两个内角的和及三角形内角和定理证
明． 解：方法一：因为∠ 1 ＋∠ BAC＝ 180 °，∠ 2 ＋∠ ABC＝ 180 °，∠ 3 ＋∠ ACB＝
180 °，所以∠ 1 ＋∠ BAC＋∠ 2 ＋∠ ABC＋∠ 3 ＋∠ ACB＝ 540 °.
又∠ BAC＋∠ ABC＋∠ ACB＝ 180 °，
所以∠ 1＋∠ 2＋∠ 3＋ 180 °＝ 540 °.
所以∠ 1＋∠ 2＋∠ 3＝ 360 °.
方法二：因为∠ 1 ＝∠ ABC＋∠ ACB，∠ 2 ＝∠ BAC＋∠ ACB，∠ 3 ＝∠ ABC＋
BAC，所以∠ 1 ＋∠ 2 ＋∠ 3 ＝∠ ABC＋∠ ACB＋∠ BAC＋∠ ACB＋∠ ABC＋∠ BAC＝
2( ∠ ABC＋∠ ACB＋∠ BAC) ＝ 2 × 180 °＝ 360 °.
点评：同一顶点上的内、外角互