第15课时 圆-备战2020年中考数学专题训练(苏州专用)——格谦教育.pdf

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�＝ 𝑦 ，
3 10
∴y＝10x，故答案为：y＝10x．
3 3
7.（2019 年南京中考第 22 题 7 分）如图，⊙O 的弦 AB、CD 的延长线相交于点 P，且 AB＝CD．求证：PA
＝PC．
【解析】证明：连接 AC，
∵AB＝CD，∴𝐴𝐵̂ ＝𝐶𝐷̂ ，∴𝐴𝐵̂ +𝐵𝐷̂ ＝𝐵𝐷̂ +𝐶𝐷̂ ，即𝐴𝐷̂ ＝𝐶𝐵̂ ，∴∠C＝∠A，∴PA＝PC．
8.（2019 年南通中考第 25 题 9 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边 AC 上一点
O 为圆心，OA 为半径的⊙O 经过点 B．
（1）求⊙O 的半径； （2）点 P 为𝐴𝐵̂ 中点，作 PQ⊥AC，垂足为 Q，求 OQ 的长；
（3）在（2）的条件下，连接 PC，求 tan∠PCA 的值．
【解析】（1）连接 OB，∵OA=OB，∴∠ABO=∠A=30°．∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，∴∠OBC=30°．在 Rt△OBC 中，cos∠𝑂𝐵𝐶 = 𝐵𝐶，即cos30° = 1 ．
𝑂𝐵 𝑂𝐵
解得𝑂𝐵 = 2√3，即⊙O 的半径为2√3．
3 3
（2）连接 OP．
∵点 P 为𝐴𝐵̂ 的中点，∴OP⊥AB．∴∠QPO=∠A=30°．
在 Rt△OPQ 中，cos∠𝑄𝑂𝑃 = 𝑃𝑄，sin∠𝑄𝑃𝑂 = 𝑂𝑄，即cos30° = 𝑃𝑄 ，sin30° = 𝑂𝑄 ．
𝑂𝑃 𝑂𝑃 2√3 2√3
3 3
∴𝑃𝑄 = 2√3 × √3 = 1，𝑂𝑄 = 2√3 × 1 = √3．
3 2 3 2 3
（3）在 Rt△OBC 中，𝑂𝐶 = √3，∴𝐶𝑄 = 2√3．∴tan∠𝑃𝐶𝐴 = 𝑃𝑄=√3．
3 3 𝐶𝑄 2
9.（2019 年苏州中考第 26 题 10 分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，D 是弧 BC 的中点，BC 与
AD、OD 分别交于点 E、F．
（1）求证：DO∥AC； （2）求证：DE•DA=DC2；（3）若 tan∠CAD=1，求 sin∠CDA 的值．
2
【解析】解：（1）因为点 D 是弧 BC 的中点，
所以∠CAD=∠BAD，即∠CAB=2∠BAD，而∠BOD=2∠BAD，所以∠CAB=∠BOD，所以 DO∥AC；
（2）∵𝐶𝐷̂ = 𝐵𝐷̂ ，∴∠CAD=∠DCB，∴△DCE∽△DCA，∴CD2=DE•DA；
（3）∵tan∠CAD=1，设：DE=a，则 CD=2a，AD=4a，AE=3a，∴AE =3，即△AEC 和△DEF 的相似比为 3，
2 𝐷𝐸
设：EF=