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五点差分格式求解第一边值问题
一五点差分格式构造的介绍
考虑 Poisson 方程：
−∆u = f(x, y)， (x,y)∈ G,
+ u + u + u )=h2f , i,j = 1,2,… , n − 1
ij i+1,j i−1,j i,j+1 i,j−1 ij
u = φ , u = φ , i = 0,1,2 … , n
i,0 i,0 i,n i,n
u = φ , u = φ , j = 0,1,2 … , n
0,j 0,j n,j n,j
现假定φ = 0，将 式写成矩阵形式即为
T 2F,
n−1 U+UTn−1 =h
U=[u ], F=[f ],
其中 ij ij2 −1
−1 ⋱ ⋱
T =[ ] ∈ R(n−1)×(n−1)
n−1 ⋱ ⋱ −1
−1 2
三、线性方程组的形成
若把正方形的顶点按如图 2 所示的次序排列，即先按 j 由小到大，j 相同的按 i 由小到大，
这种排列方式叫“自然顺序排列”，用该方式排列得到的线性方程组由下面形状
Au = h2f ,
其中
T + 2I −I
n−1 n−1 n−1
−I ⋱ ⋱
A = [ n−1 ]
⋱ −I
⋱ n−1
−I T + 2I
n−