精选导数的概念教案.doc

精选导数的概念教案
2
【教学课题】：§ 导数的概念（第一课时）
【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导
精选导数的概念教案
2
【教学课题】：§ 导数的概念（第一课时）
【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。
【教学重点】：在一点处导数的定义。
【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。
【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。
【教学过程】：
导数的思想的历史回顾
导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。
二）两个来自物理学与几何学的问题的解决
4
问题1 （以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：，，求：落体在时刻（）的瞬时速度。
问题解决：设为的邻近时刻，则落体在时间段（或）上的平均速度为
若时平均速度的极限存在，则极限
为质点在时刻的瞬时速度。
问题2 （以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线上点，求：点处切线的斜率。
下面给出切线的一般定义；设曲线及曲线上的一点，如图，在外上另外取一点，作割线，当沿着趋近点时，如果割线绕点旋转而趋于极限位置，直线就称为曲线
4
在点处的切线。

问题解决：取在上附近一点，于是割线PQ的斜率为
（为割线的倾角）
当时，若上式极限存在，则极限
（为割线的倾角）
为点处的切线的斜率。
上述两问题中，第一个是物理学的问题，后一个是几何学问题，分属不同的学科，但问
题的解决都归结到求形如
（1）
的极限问题。事实上，在学****物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都化归为讨论形如（1）的极限问题。也正是这类问题的研究，
5
促使“导数”的概念的诞生。
导数的定义
定义 设函数在的某邻域内有定义，若极限
存在，则称函数在点处可导，并称该极限为在点处的导数，记作。即
（2）
也可记作，，。若上述极限不存在，则称在点处不可导。
在处可导的等价定义：
设，若则等价于，如果
函数在点处可导，可等价表达成为以下几种形式：
（3）
（4）
（5）
6
利用导