高考数学一轮复习讲义-函数的单调性课件-人教大纲版.ppt

§ 函数的单调性
根底知识 自主学****br/>要点梳理

〔1〕单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f（x），x2
第一:
任取x1、x2∈〔-1，+∞〕，且-1<x1<x2，
那么有x1-x2<0，
∵-1<x1<x2,∴x1+1>0,x2+1>0,x2-x1>0.
即f(x1)-f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2).
第十一页，编辑于星期五：七点 五十二分。
故 在〔-1，+∞〕上为减函数.
〔2〕函数f(x)=-x2+2x+1在［1,+∞〕上为减函数，
证明如下：
任取x1、x2∈R，且x2>x1≥1,
那么f(x1)-f(x2)=
=(x2+x1)(x2-x1)+2(x1-x2)
=(x2-x1)(x2+x1-2).
∵x2>x1≥1,∴x2-x1>0,x2+x1>2,x2+x1-2>0,
∴f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x2+x1-2)>0,
即有f(x1)>f(x2).
第十二页，编辑于星期五：七点 五十二分。
故函数f(x)=-x2+2x+1在［1,+∞〕上是减函数.
〔3〕函数f(x)= 在［-1，+∞〕上为增函数，
证明如下：
任取x1、x2∈［-1,+∞〕且-1≤x1<x2，
那么有x1-x2<0，
第十三页，编辑于星期五：七点 五十二分。
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
故函数f(x)= 在［-1,+∞〕上为增函数.
对于给出具体解析式的函数，判断或
证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义
〔根本步骤为取点、作差或作商、变形、判断〕
求解.
探究提高
第十四页，编辑于星期五：七点 五十二分。
知能迁移1 函数
证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
〔1〕用函数单调性的定义.
〔2〕用导数法.
证明 任取x1,x2∈(-1,+∞),
不妨设x1<x2,那么x2-x1>0,
思维启迪
第十五页，编辑于星期五：七点 五十二分。
又∵x1+1>0,x2+1>0,
于是f(x2)-f(x1)=
故函数f(x)在〔-1,+∞〕上为增函数.
第十六页，编辑于星期五：七点 五十二分。
题型二 复合函数的单调性
【例2】 函数f(x)=log2(x2-2x-3)，那么使f(x)为减函
数的区间是( )
A.(3,6) B.(-1,0)
C.(1,2) D.〔-3,-1〕
先求得函数的定义域，然后再结合二
次函数、对数函数的单调性进行考虑.
解析 由x2-2x-3>0，得x<-1或x>3,结合二次函数
的对称轴直线x=1知，在对称轴左边函数y=x2-2x-3
是减函数，所以在区间〔-∞，-1〕上是减函数，
由此可得D项符合.
思维启迪
D
第十七页，编辑于星期五：七点 五十二分。
〔1〕复合函数是指由假设干个函数复合而
成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)
的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减〞，
即f(u)与g(x)有相同的单调性，那么f[g(x)]必为增函
数，假设具有不同的单调性，那么f[g(x)]必为减函数.
〔2〕讨论复合函数单调性的步骤是：
①求出复合函数的定义域；
②把复合函数分解成假设干个常见的根本函数并判断其
单调性；
③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；
④根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性.
探究提高
第十八页，编辑于星期五：七点 五十二分。
知能迁移2 函数y= 的递减区间为
〔 〕
A.(1,+∞) B.
C. D.
解析 作出t=2x2-3x+1的示意
图如以以下图，
∵0< <1,∴ 递减.
要使 递减,t应该大于0且递增,
故x∈(1,+∞).
A
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题型三 抽象函数的单调性与最值
【例3】 函数f(x)对于任意x,y∈R，总有f〔x〕
+f〔y〕=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)=
〔1〕求证：f〔x〕在R上是减函数；
〔2〕求f〔x〕在［-3，3］上的最大值和最小值.