最全高中三角函数总结.doc

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三角函数做题技巧与方法总结
由此可得到函数的定义域为
说明：确定三角函数的定义域的依据：〔1〕正、余弦函数、正切函数的定义域。〔2〕假设函数是分式函数，则分母不能为零。〔3〕假设函数是偶函数，则被开方式不能为负。〔4〕假设函数是形如的函数，则其定义域由确定。〔5〕当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。
函数值域及最大值，最小值
求函数的值域
一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。
例3、求以下函数的值域
〔1〕 〔2〕
分析：利用与进展求解。
解：〔1〕
〔2〕
说明：
练****求函数的值域。
解：设，
则原函数可化为，
因为，所以当时，，当时，，
所以，函数的值域为。
函数的最大值与最小值。
求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：
〔1〕sin*,cos*的有界性；
tan*的值可取一切实数；
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连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。
例4、求以下函数的最大值与最小值
〔1〕 〔2〕 〔3〕
分析：〔1〕可利用sin*,cos*的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围〔2〕〔3〕可利用二次函数在闭区间上求最值得方法。
解：(1)
(2)
当，即时，有最小值；
当，即，有最大值1。
〔3〕
函数的周期性
例5、求以下函数的周期
分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为根本三角函数去处理。
〔1〕把看成是一个新的变量，则的最小正周期是，就是说，当且必须增加到时，函数的值重复出现，而所以当自变量增加到且必须增加到时，函数值重复出现，因此，的周期是。
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〔2〕 即
的周期是。
说明：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关。
一般地，函数或〔其中为常数，的周期。
例6、函数。
求的最小正周期、的最大值及此时*的集合；
解：
所以的最小正周期，因为，
所以，当，即时，最大值为；
函数的奇偶性
例7、判断以下函数的奇偶性
分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。
解：〔1〕函数的定义域关于原点对称
函数应满足
函数的定义域不关于原点对称。 函数既不是奇函数又不是偶函数。
评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证是否等于
或，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。
练****函数的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.
解：
函数的单调性
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例8、以下函数，在上是增函数的是〔 〕
分析：
解：与在上都是减函数，排除，，
知在内不具有单调性，又可排除，应选。
例9、函数
〔Ⅰ〕求f(*)的最小正周期； 〔Ⅱ〕求f(*)的递增区间.
解：〔Ⅰ〕
∴最小正周期T=
〔Ⅱ〕由题意，解不等式
得
的递增区间是
小结：求形如的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：
三角函数思想方法归纳解析
数形结合思想
o
*
y
图1
y1
y2
由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深同学们对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。
例1．求不等式在上的解集。
解析：设，，在同一坐标系中作出在上两函数图像(如图1)，在上解得的解为
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