高数四校联考.doc

湖 北 省
湖 北 大 学 　 湖 北 工 业 大 学
江 汉 大 学 　 武 汉 工 程 大 学 ２０２１ 级 教 研 协 作 体 联 合 考 试
高 等 数 学
本 试 卷 共 ７ 页 ，２３ 题 。 全 卷 满 分 １５０１ ） （狔 ），则 （犳 － １ ） （狔 ） ＝
３ （犳″ （狓 ） ）２ － 犳′ （狓 ）犳 （狓 ） （犳″ （狓 ））２ － ５犳′ （狓 ）犳 （狓 ）
Ａ ． ５ Ｂ ．
（犳′ （狓 ）） （犳′ （狓 ））
３
（犳″ （狓 ））２ － 犳′ （狓 ）犳 （狓 ） （犳″ （狓 ））２ － 犳′ （狓 ）犳 （狓 ）
Ｃ ． ５ Ｄ ．
３ （犳′ （狓 ）） ５ （犳′ （狓 ））
３
６ ．∫
π
θｌｎ （ｓｉｎ θ ）ｄθ ＝
０
π
Ａ ．
２
ｌｎ ２ Ｂ ． －
π
２
２
π
ｌｎ ２ Ｃ ． ｌｎ ２ Ｄ ． －
２
２
π
ｌｎ ２
２
７ ． 下 列 命 题 正 确 的 是
Ａ ．若∫
＋ ∞
犳 （狓 ）ｄ狓 收 敛 ，则∫
犪
＋ ∞
犪
［犳 （狓 ）］２ ｄ狓 收 敛
Ｂ ．若∫
＋ ∞
犳 （狓 ）ｄ狓 绝 对 收 敛 ，则∫
犪
＋ ∞
犪
［犳 （狓 ） ］２ ｄ狓 收 敛
Ｃ ．若∫
＋ ∞
犳 （狓 ）ｄ狓 绝 对 收 敛 ，且 ｌｉ ｍ
犪 狓 → ＋ ∞
犳 （狓 ） ＝ ０ ，则∫
＋ ∞
犪
［犳 （狓 ）］２ ｄ狓 收 敛
Ｄ ．若 犳 在 ［犪 ， ＋ ∞ ） 上 连 续 ，且∫
＋ ∞
犳 （狓 ）ｄ狓 收 敛 ，则 ｌｉ ｍ
犪 狓 → ＋ ∞
犳 （狓 ） ＝ ０
８ ． 下 列 不 能 作 为 方 程 狓
ｄ ｄ ２狔
３狔
２
３ － ２ （ ２ ）
ｄ狓 ｄ狓
＋ ２
ｄ ２狔
ｄ狓
２ ＝ ０ 的 通 解 的 是
Ａ ．狔 ＝
狓
ａｒｃｔａｎ （犆
犆 １
１狓 ） －
１
２犆
ｌｎ （１ ＋ 犆
２
２
１
２ ） ＋ 犆 ２狓 ＋ 犆 ３ （犆
１ ≠ ０ ）
Ｂ ．狔 ＝ 犆 １狓 ＋ 犆 ２
Ｃ ．狔 ＝
１
２
狓
２ ＋ 犆
１狓 ＋ 犆 ２
Ｄ ．狔 ＝
１
３
狓
３ ＋ 犆
１狓
２ ＋ 犆
２狓 ＋ 犆 ３
· ·
２
二 、填 空 题 （本 题 共 ６ 小 题 ，每 小 题 ４ 分 ，共 ２４ 分 ，把 答 案 填 在 题 中 横 线 上 ．）
９ ． 若 ｌｉｍ
狀 → ∞
狓 狀 ＝ 犪 ，则 ｌｉ ｍ
狀 → ∞
狓 １ ＋ 狓 ２ ＋ … ＋ 狓
狀
狀
＝ ．
１０ ．设 狉 ＝ 犪 ｅ 犿 φ ，其 中 狉 ＝ 槡狓
２ ＋ 狔 ２ ，φ ＝ ａｒｃｔａｎ
狔
狓
，则
ｄ狔
ｄ狓
＝ ．
１１ ．设 函 数 犳 （狓 ） 在 （狓
０ － δ ，狓 ０ ＋ δ ） 内 有 狀 阶 连 续 导 数 ，且 犳″ （狓 ０ ）＝ 犳 （狓 ０ ）＝ … ＝ 犳 （狀 － １ ） （狓 ０ ）＝ ０ ，
但 犳
（狀 ） （狓
０ ） ≠ ０ ．当 ０ ＜ 狘 犺 狘 ＜ δ 时 ，犳 （狓 ０ ＋ 犺 ） － 犳 （狓 ０ ） ＝ 犺 犳′ （狓 ０ ＋ θ （犺 ）犺 ） ，０ ＜ θ （犺 ） ＜ １ ，
则 ｌｉｍ
犺 → ０
θ （犺 ） ＝ ．
１２∫．
ｄ狓
槡１ ＋ ｅ
狓 ＋ 槡１ － ｅ
狓
＝ ．
狓
１３ ．若 犳 （狓 ） 在 ［０ ， ＋ ∞ ） 上 连 续 ，且 犳 （狓 ） ＞ ０ ，要 使 φ （狓 ） ＝∫
狋犳 （狋 ）ｄ狋
０
狓
∫
犳 （狋 ）ｄ狋
０
数 ，则 φ （０ ） ＝ ．
为 （０ ， ＋ ∞ ） 上 的 严 格 增 函
１
１４ ．已 知 积 分 方 程∫
０φ （狋狓 ）ｄ狋 ＝ 狀φ （狓 ），其 中 狀 是 非 零 常 数 ，则 方 程 的 通 解 为 ．
三 、解 答 题 （本 题 共 ９ 小 题 ，共 ９４ 分 ，解 答 应 写 出 文 字 说 明 、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ．）
１５ ．（本 题 满 分 １０ 分 ）
设 函 数 犳 （狓 ） 定 义 在