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指数函数及其性质 要点一、指数函数的概念：
函数y=ax(a>0且a壬1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.
要点诠释：
1
形式上的严格性：只有形如y=ax (a>0且a壬1) = 20, 1+3x>1,
0 < 1 < 1 ,
1 + 3x
1
0 < 1 - < 1,
1 + 3x
••j<-1 +13x <°，
二值域为(0,1).
1 + 3x
• •• 2x二2即x=-1时，y取最小
13
⑵定义域为 R, y — (2x)2 - 2x +1 = (2x — 2)2 + — , "•" 2x>0,
3 3
值丁，同时y可以取一切大于丁的实数，•••值域为［-,+^).
4 4
1
(3)要使函数有意义可得到不等式32x-1 -- > 0 ,即32x-1 > 3- 2,又函数y = 3x是增函数，所以
2x —1 >-2 ,即x>-—,即 一”,+8 ,值域是[°, +3).
L 2 丿
2x x -1
V -1二 > 0 •••定义域为(-8 , -1) U [1, +8),
x +1 x+1
-x — 1 x — 1 1 2x 1
又 V > 0且 丰 1 , • y = a'x+1- > 1且y = a x+1-丰 a ,二值域为［1, a) U (a , +^).
x +1 x +1
【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题
中 =：1 — 丰1不能遗漏.
x +1 x +1
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域
(1) y = 2乩
(3) y = \；2x -1
(2) y = 33-x
(4) y = \'1- ax (a > 0, a 丰 1)
【答案】(1) R； (2)( -g ,； (3)【0,+g)； (4) a>1 时，( -g ,o] ；0<a<1 时，[o,+g)
【解析】⑴R
⑵要使原式有意义，需满足3-xMO,即x < 3，即(-g,].
为使得原函数有意义，需满足2x-1$0,即2x^1,故x$0,即[O,+g)
为使得原函数有意义，需满足1-ax > 0，即ax < 1，所以a>1时，( -g ,] ；0<a<1 时，【0,+g).
【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结 合单调性来判断指数的大小关系.
类型三、指数函数的单调性及其应用
(1 \ x2- 2 x
(x)二- 的单调性，并求其值域.
V 3丿
'1 A x2 - 2 x
【思路点拨】对于x£R,
V 3丿
> 0恒成立，因此可以通过作商讨论函数 f(x)
是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果.
【答案】函数f (x)在区间(一8, 1)上是增函数，在区间[1, +-)上是减函数 (0, 3] 【解析】
解法一：T函数f (x)的定义域为(一8, +8),设x2G( — 8, +8)且有x1<x2，
••• f (x2)
(1 ]
x22-2x2
(1J
,f (x )二
〔3丿
1
〔3丿
- 2 x1
'1 A x| - 2 x2 f ( xJ_l3 丿 f (x1) (1 A x2 -2 x〔
' 〔3丿
'1 A x| - xf -2( x2 - xj
〔3丿
(1 A(x2 -x1)(x2 + x1 -2)
V 3 J
⑴当 x1<x2<1 时，x1+x2<2,即有仔一2<°.
又乜一XT。
/. (x 一x )(x +x 一2) <0
2 1 2 1
(1 A(x2 -x.)(x2 + 叫-2)
则知-2 1 2 1 > 1.
〔3丿
又对于 x£R, f (x) > 0恒成立f (x ) > f (x ).
21
•••函数f ( x)在(一8, 1)上单调递增.
(2)当 1 Wx <x 时，x +x >2,即有 x +x 一2>0.
1 2 1 2 1 2 又Tx —x >0,.". (x —x )(x +x 一2) >0,则知
2 1 2 1 2 1
(1 A( x2-x1)(x2+x1-2)
〔3丿
<1.
. f(x2) < f(x1)
.函数 f(x) 在[1， +8)上单调递减.
-1
二 3.
综上，函数f (x)在区间(一8, 1)上是增函数，在区间［1, +-)上是减函数.
Tx2—2x=（x—1） 2—1 $_1,
•••