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第03章多维随机变量及其分布
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第一节二维随机变量及其分布函数
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在实际问题中, 对于某
X1
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将(X,Y)看成一个随机点的坐标, 则离散型随机变量X和Y的联合分布函数为
其中和式是对一切满足xix,yjy的i,j来求和的.
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一维连续型随机变量X的分布函数
X的概率密度函数
三、二维连续型随机变量
存在非负的函数
如果
定义3
对于二维随机变量
的分布函数
则称 是连续型的二维随
机变量 ,
函数 称为二维
（X,Y )的概率密度 ,
随机变量
任意 有
使对于
称为随机变量 X 和 Y 的联合概
率密度.
或
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（X,Y）的概率密度的性质 :
在 f (x,y)的连续点 ,
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例4 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
(1)求分布函数F(x,y); (2)求概率P{YX}.
解 (1)
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(2) 将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标, 即有 {YX}={(X,Y)G},其中G为xOy平面上直线y=x及其下方的部分,于是
x
y
O
G
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设E是一个随机变量, 它的样本空间是S={e}, 设X1=X1(e), X2=X2(e), ..., Xn=Xn(e)是定义在S上的随机变量, 由它们构成的一个n维随机向量(X1,X2,...,Xn)叫做n维随机向量或n维随机变量.
任给n个实数x1,x2,...,xn, n元函数F(x1,x2,...,xn)=P{X1x1,X2x2,...,Xnxn}称为n维随机变量(X1,X2,...,Xn)的分布函数或X1,X2,...,Xn的联合分布函数. 它具有类似于二维随机变量的分布函数的性质.
推 广
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第二节边缘分布
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二维随机变量 (X,Y)作为一个整体,
具有分布函
数
而 和 都是随机变量 ,
也有各自的分
布函数,
分别记为
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
依次称为二维随机
一、边缘分布函数
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一般地，对离散型随机变量( X,Y )，
则X 的分布律为
X和Y 的联合分布律为
二、离散型随机变量的边缘分布律
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同样，Y 的分布律为
记
分别称pi(i=1,2,...)和pj(j=1,2,...)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律.
理解：记号中的“”表示对下标的求和。
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例 袋中有2只白球3只黑球，现从中摸两次，
每次摸一球，分别采用有无放回两种摸球方式，令
求X和Y的联合分布律与边缘分布律.
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由此可见，虽说两个边缘分布相同，但联合分布是不同的。所以说明，边缘分布可由联合分布求出，但边缘分布不能决定联合分布.
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三、连续型随机变量的边缘概率密度
对于连续型随机变量(X,Y), 设概率密度为f(x,y), 由于
由定义，X是一个连续