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第07章时变电磁场(2)
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第二, 在任何边界上，磁感应强度的法向分量是连续的。
由磁通连续性原理，即可证明
或写成矢量形式
第三，电通密度的法向分量边界条件与 ，上两式又可写为
求得
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则前两式可以简化为
罗伦兹条件
原则上，其散度值可以任意给定，但是为了简化计算，若令
已经规定了矢量场 的旋度， ，必须再规定其散度。
按照罗伦兹条件规定 的散度后，原来两个相互关联的方程变为两个独立方程。 矢量位 仅与电流 有关，标量位  仅与电荷  有关。
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由上可见，已知电流及电荷分布，即可求出矢量位 A和标量位  。求出 A 及  以后，即可求出电场与磁场。
原来电磁场方程为两个结构复杂的矢量方程，在三维空间中需要求解 6 个坐标分量
位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程
这样，麦克斯韦方程的求解归结为位函数方程的求解，而且求解过程显然得到了简化。
在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量。在直角坐标系中，实际上等于求解 1 个标量方程。
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根据静态场的结果，采用类比的方法，推出其解。
7-5 位函数方程求解
当时变点电荷位于坐标原点时，其场分布一定具有球对称特点，即场量仅为变量 r 的函数，与球坐标变量  及  无关。那么，在除坐标原点以外整个无源（ = 0）空间，位函数满足的方程式为
首先求解位于坐标原点的时变点电荷产生的矢量位，然后利用叠加原理导出任意分布的时变体电荷的解。
式中
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上式为函数（ r）的齐次波动方程，其通解为
由后面分析可以获知，式中第二项不符合实际的物理条件，应该舍去。因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量电位为
已知位于原点的静止点电荷 产生的电位为
将此式同上式比较，可见函数 f1 为
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因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量位为
式中r 为体元 dV 至场点的距离。
对于位于V 中的任意体分布电荷，如图示。
r'
r
z
y
x
 (r, t)
V '
dV'
r' - r
0
在 r 处产生的电位由上式积分求得
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为了求出矢量位函数 A，可将矢量位函数方程在直角坐标系中展开，则各个分量均满足结构相同的非齐次标量波动方程式，即
显然，对于每一个分量均可求得结构如同前式的解。三个分量合成后，矢量位 A 的解为
式中 V ' 为电流 J 的分布区域。
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上两式表明，空间某点在时刻 t 产生的位必须根据时刻 的场源分布函数进行求积。换言之，位于 r 处 t 时刻的场强不是由同一时刻 t 的源的分布决定的，而是取决于比 t 时刻导前 的时刻的源分布。
这就意味着，位于 r 处的源产生的场传到 r 处需要一段时间，这段时差就是 。
已知 ( r – r ' )为源点至场点的距离，因此 v 代表电磁波的传播速度。
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由式 可见，电磁波的传播速度与媒质特性有关。在真空中，最新测得的数据为
这就是光波在真空中的传播速度，或简称为光速。光速通常以 c 表示。
值得注意的是，即使在某一时刻源已消失，只要前一时刻源还存在，它们原来产生的空间场仍然存在，这就表明源已将电磁能量释放到空间，而空间电磁能量可以脱离源单独存在，这种现象称为电磁辐射。
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当静止电荷或恒定电流一旦消失，它们所产生的静电场或恒定磁场也随之失去，因而静态场又称为束缚场，没有辐射作用。
若源随时间变化很快，空间场强的滞后现象更加显著，即使在源附近也会有显著的电磁辐射现象。所以似稳场和辐射场的区域划分不仅取决于空间距离，也与源的变化快慢有关。
位于时变源附近的时变电磁场，时差很小，场强随时间的变化基本上与源的变化同步，所以近处的时变场称为似稳场。