第08章环和域.ppt

第08章环和域
第1页，共37页，2022年，5月20日，14点4分，星期五
环
给定<R，+，·>，其中+和·都是二元运算，若①<R，+>是Abel群，②<R，·>是半群，③·对于+是可分配的，则星期五
下面引进一种特殊的子环，称之为理想，理想在环中与正规子群对于群的地位相仿。
设<T，+，·>为<R，+，·>的子环，若对于T中任何元t和R中任何元a，有a·t∈T且t·a∈T，则称<T，+，·>为环<R，+，·>的理想。
显然，若<R，+，·>是可交换环，a·t∈S或t·a∈S只要其一即可。
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由定义可知，若<T，+，·>为理想，则R中任二元素相乘时，若至少有一个元素属于T，则乘积必属于T。
当<S，+，·>是环<R，+，·>的子环时，要求S对于乘法运算封闭；而当<T，+，·>是环<R，+，·>的理想时，要求更强的封闭性，即T对于乘上R中任一元素的运算封闭。
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注意到子环与理想的定义，不难证明如下定理：
给定环<R，+，·>及≠TR，则<T，+，·>为环<R，+，·>的理想(t)(t1)(a)(t，t1∈T∧a∈R→(t-t1)∈T∧
t·a∈T∧a·t∈T)
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令<T，+，·>是环<R，+，·>之理想，若在T中存在元g，使得T=R·g，其中R·g={a·g|a∈R}，则称<T，+，·>为环<R，+，·>的主理想。并称g为<T，+，·>的生成元或说由g生成<T，+，·>，常常用(g)表示T。
对于环<I，+，·>来说，它有个有趣的性质即它的所有理想均为主理想。因此有下面待证定理。
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设<L，+，·>为环<I，+，·>之理想，则存在i∈I+，使得L=(i)。即<I，+，·>的每个理想皆为主理想。
对于任一环的理想，读者不难证明下面定理：
若<T1，+，·>与<T2，+，·>同为环<R，+，·>之理想，则<T1∩T2，+，·>亦为环<R，+，·>之理想。
若<T，+，·>为含幺环<R，+，·>之任一真理想，则T中任一元素均无乘法逆元。
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现在用R/T表示群<R，+>中T的所有不同陪集的簇。首先定义R/T中的加法如下：
(a+T)(b+T)=(a+b)+T
则<R/T，>是Abel群。
其次定义R/T中的乘法⊙如下：
(a+T)⊙(b+T)=(a·b)+T
则<R/T，⊙>是半群。
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若<T，+，·>是环<R，+，·>的理想，则<R/T，，⊙>是商环。
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环同态与环同构
给定环<R，+，·>与<S，，⊙>，则环<R，+，·>环<S，，⊙>:=(f)(f∈SR∧(a)(b)(a，b∈R→(f(a+b)=f(a)f(b)∧f(a·b)=f(a)⊙f(b)))称f为从环<R，+，·>到环<S，，⊙>的环同态映射。
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又若f为双射，则环<R，+，·>环<S，，⊙>，此时称f为从<R，+，·>到<S，，⊙>的环同构映射。
不难看出，环同态意味着群同态与半群同态，而且f还能保持可分配性，即对任意a，b，c∈R，则
f(a·(b+c))=f(a)⊙f(b+c)
=f(a)⊙(f(b)f(c))
=(f(a)⊙f(b))(f(a)⊙f(c))
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若f为从环<R，+，·>到环<S，，⊙>的环同态映射，0S为环<S，，⊙>的零元，则集合Kf={k|f(k)=0S∧k∈R}，称为环同态映射f的核。
关于环同态、环同构有群同态、群同构类似的定理，今仅叙述如下而其证明留给读者。
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若f为从环<R，+，·>到环<S，，⊙>的环同态映射，且0R，0S，1R，1S分别为两个环的零元和幺元，则
(1) f(0R)=0S
(2) f(-a)=-f(a)
(3) <Kf，+，·>是<R，+，·>的子环