排列组合问题插板法.docx

排列组合问题之插板法：
插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求每组起码一个元素；若关于
“可空”问题，即每组能够是零个元素，又该怎样解题呢？
例1．现有10个完全相同的球全部
排列组合问题之插板法：
插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求每组起码一个元素；若关于
“可空”问题，即每组能够是零个元素，又该怎样解题呢？
例1．现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班起码1个球，问共有多少种不同的分法?
【解析】：题目中球的分法共三类：
第一类：有
3
个班每个班分到2
个球，其余
4个班每班分到1个球。其分法种数为C37=35。
第二类：有
1
个班分到3
个球，
1个班分到
2个球，其余
5个班每班分到1个球。其分法种数2*C27=42。
第三类：有
1
个班分到4
个球，其余的6个班每班分到
1
1个球。其分法种数C7=7。
所以，10个球分给7个班，每班起码一个球的分法种数为
84：。
由上面解题过程能够显然感觉对这类问题进行分类计算，比较繁锁，假如上题中球的数目较多处
理起来将更为困难，因此我们需要寻求一种新的模式解决问题，我们创设这样一种虚构的情境——插板。
将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档，现在我们用“档板”把10个球隔成有
序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应地点的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），借助于这
样的虚构“档板”分派物品的方法称之为插板法。
由上述剖析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即是在9个空档之中插入6个“档板”（6
个档板可把球分为7组），其方法种数为C39=84。
由上述问题的剖析解决看到，这种插板法解决起来特别简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适
用前提相当严格，必须同时知足以
下3个条件：
①所要分的元素必须完全相同；
②所要分的元素必须分完，决不允许有节余；
③参与分元素的每组起码分到1个，决不允许出现分不到元素的组。
下面再给各位看一道例题：
例2．有8
个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（
）种不同方法.
A．35
B．28
C．21
D．45
【解析】：这道题好多同学错选C，错误的原因是直接套用上面所讲的“插板法”，而忽略了“插板法”
的合用条件。例2和例1的最大区别是：例1的每组元素都要求“非空”，而例2则无此要求，即能够出
现空盒子。
其实本题仍是用“插板法”，只是要做一些小变化，详解如下：
设想把