频域奈氏判据.ppt

自动控制原理
(频域分析部分)
航空航天学院
肖刚
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第四章控制系统的频域分析
5-1 频率特性
5-2 极坐标图
5-3 伯德图
5-4 奈奎斯特判据
5-5 频域稳态分析
5-6 频域动态分析
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基本思想:利用开环频率特性判别闭环系统稳定性。
一、预备知识——幅角定理
由复变函数可知,对S复平面上除奇点外的任一
点,经过复变函数F(s)的映射,在F(s)平面上可以找
到对应的象。设辅助函数
5-4 奈奎斯特判据
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令:s从 s1开始沿任一闭合路径Γs (不经过F(s)的零点和极
点)顺时针旋转一圈,F(s)的相角变化情况如下:
零点(-Zi) 极点(-Pj)
1) –Zi在Γs外。 2) –Pj在Γs外。

结论:相角无变化
1) –Zi在Γs内, 。(顺时针)
2) –Pj在Γs内, 。(逆时针)
结论:若F(s)在Γs中有Z个零点和P个极点,则当s沿Γs顺时针方向旋转一圈时, F(s) 相角有变化(顺时针):
5-4 奈奎斯特判据
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幅角定理:
F(s)是s的单值有理函数,在s平面上任一闭合路径包围了F(s)的Z个零点和P个极点,并且不经过F(s)的任一零点和极点,则当s沿闭合路径顺时针方向旋转一圈时,映射到F(s)平面内的F(s)曲线顺时针绕原点(Z – P)圈。即
N=Z-P
(或逆时针绕原点N= P - Z圈)
其中:N为圈数,正、负表示的旋转方向:逆时针为正,顺时针为负。
5-4 奈奎斯特判据
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三、奈魁斯特稳定性判据

顺时针方向包围整个s
右半面。由于不能通过
F(s)的任何零、极点,
所以当F(s)有若干个极
点处于s平面虚轴(包
括原点)上时,则以
这些点为圆心,作半
径为无穷小的半圆,
按逆时针方向从右侧
绕过这些点。
5-4 奈奎斯特判据
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2. 奈氏判据
设: ——闭环系统特征多项式
显然:F(s) 的零点就是闭环系统的极点。

(1) 1+G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析
假如s沿着奈氏路径绕一圈,根据幅角定理,F(s)平
面上绘制的F(s)曲线ΓF逆时针方向绕原点的圈数N则为
F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差:
N= P - Z
当Z=0时,说明系统闭环传递函数无极点在s右半开
平面,系统是稳定的;反之,系统则是不稳定的。
5-4 奈奎斯特判据
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(2)G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析--奈氏判据
因1+ G(s)H(s) 与G(s)H(s) 相差1,所以系统稳定性可表述为:
奈氏判据:闭环系统稳定的充要条件是:s沿着奈氏路径绕一圈,G(jω)H(jω)曲线逆时针绕(-1,j0)点的P圈。
P——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。
5-4 奈奎斯特判据
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=0,且 N=0,即GH曲线不包围(-1,j0)点,则闭环系统稳定;
≠0,且N=P,即GH曲线逆时针绕(-1,j0)点P圈,则闭环系统稳定,否则是不稳定系统。不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取:
Z=P­N
(-1,j0)点L次,则说明闭环系统有L个极点分布在s平面的虚轴上。
5-4 奈奎斯特判据
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例: 一系统开环传递函数为:

试判别系统的稳定性。
解:本系统的开环频率特性
当变化时,
系统的幅相曲线如图所示。
因为系统有一个开环极点位于s的右
半平面,即:P=1。
图中奈氏曲线是逆时针方向绕(-1,j0)点的1圈,即 N=1。
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0所以系统稳定。
5-4 奈奎斯特判据
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