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不定积分的计算.doc

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文档列表 文档介绍

§ 不定积分的计算
一“凑”微分法
有一些不定积分,将积分变量进行一定的变换后就能有基本的积分公式求出所需的积分。
例:求。
例:求。
例:求。
注:为了求积分,把它凑成如下的形式,作代换,于是有,如果这个积分可在基本积分公式中查到为,再代回原来的变量,就求得积分。
二换元积分法
定理1 (换元积分法) 设连续,及皆为连续,的反函数存在且连续,并且
,
则
。
注:在换元积分法中是将被积函数的某一部分视为一个整体看作一个新的积分变量。
例:求。
例:求。
例:求。
使用换元积分法的关键:在于把被积表达式凑成形式,从而作变换,化积分为:。但要注意的是最后要换回原积分变量。
例:求。
三分部积分法
定理2(分部积分法) 若与可导,不定积分存在,则不定积分也存在,且
,
即
。
例:求。
例:求。
例:求和.
四有理函数积分法
定义:设和是两个多项式,凡形如
的函数称为有理函数。
重要结论:任何一个有理函数必定可以表示为若干个形如(称为简单分式):
(1) ; (2) ;
(3); (4)。
的简单分式之和,其中A,B,为常数,为正整数。
因此,对有理函数的积分只要讨论上述四种形式的积分即可。
(1) 。
(2) , 。
(3) ,令,并记
,,则

。
同(3)可得,

。
记,则

=
,
于是,有递推公式
。
将这些结果代回,即可求得所求积分。
例:求。
例:求。
五其他类型的积分举例
1、形如的积分
只要令就可有理化。
例: 求。
例:求。
2

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