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几何学试题.doc

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一设,其中是常数,证明是上的单参数变换群,求它所生成的切向量场。
二、在上构造两种不同的光滑微分结构。
三、设是光滑流形M和N之间的光滑同胚,则建立了光滑切向量场的李代数和之间的同构。
四、设f是n维向量空间V上的线性变换,定义F:为
,。
求张量F的缩并。
五 M,N是两个n维光滑流形,是光滑映射,若f在点的
秩是n,则必有在点的一个邻域,使得是N在点的邻域,并且:是光滑同胚。
六、假设是n维流形M的一个坐标卡集,并且
(1)构成M的一个开覆盖;
(2)属于的任意两个坐标卡是-相关的。
证明:若M的两个坐标卡(U, )和(V, )与中的每一个成员都是-相关的,则(U, )和(V, )是-相关的.

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