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定积分的计算
课题: 定积分的计算
目的要求: 知道变上限的定积分是变上限的函数,知道有关求导定理。熟练掌握牛顿(Newton)—莱布尼兹(Leibniz)公式。掌握定积分的换元积分法及分部积分法。
重点: 牛顿—莱布尼兹公式,定积分的换元积分法及分部积分法。
难点: 定积分的换元积分法
教学方法: 讲练结合
教学时数: 4课时
教学进程:
我们知道,定积分是求总量的数学模型,但如果按照分割、代替、求和、取极限的四步法求定积分,步骤虽然十分清楚,,定积分虽然为解决求总量的问题提供了极好的模型,、莱布尼兹等人从另一个角度揭示了微分和积分的内在联系:微积分基本定理,并由此推导出计算定积分的简便公式,即牛顿—莱布尼兹公式,从而为计算定积分另辟蹊径.
一、牛顿—莱布尼兹公式
图1
1、微积分基本定理
设函数在上连续,,

与相对应,显然它是的函数,记作(图1),即
= .
这种积分上限为变量的定积分称为变上限定积分.
定理1(微积分基本定理)变上限定积分所确定的函数是被积函数的原函数,即设在上连续,,
则(1)
(证明从略).
公式(1)告诉我们
变上限定积分的导数等于被积函数,(或导数)与(变上限)定积分之间的内在联系,因而称为微积分基本定理.
(2) 定理1要求函数在上连续,于是附带给出了原函数存在定理,即
推论某区间上的连续函数在该区间上存在原函数.
(3) 既然变上限定积分是被积函数的原函数,这就为计算定积分开辟了新途径.
例1 求.
解.
例2 求.
例3 求.
2、牛顿—莱布尼兹公式
定理2 设在上连续,且是的一个原函数,则
. (2)
公式(2)是著名的牛顿—莱布尼兹公式,常记作

牛顿—莱布尼兹公式把定积分的计算问题归结为求被积函数的原函数在上、下限处函数值之差的问题,从而巧妙地避开了求和式极限的艰难道路,为运用定积分计算普遍存在的总量问题另辟坦途.
例4 求由抛物线,直线和轴围成的曲边三图2
角形的面积.
解设所求曲边三角形(图2)的面积为,则
.
例5 求.
例6 求.
例7 求.
解先用换元积分法求不定积分.
令,则,,于是

.
取一个原函数
,
由公式(2),得
.
注意:,还原为原积分变量,而后用牛顿—莱布尼兹公式.
二、定积分的换元积分法和分部积分法
我们已经会依据牛顿—莱布尼兹公式给出的步骤求定积分:先求被积函数的一个原函数,再求原函数在上、,需将新变量还原为原来的积分变量,才能求原函数之差,.
定积分的换元积分法
先看例7用新方法来计算.
令,即,当时,.当时,.于是
.
:
第一,引入的新函数必须单调,使在区间上变化时,在区间上变化,且,.
第二,改变积分变量时必须