13数学分析期末复习题01.doc

13数学分析(三)复****范围
一、计算题(每小题10分,共70分)
1. 全微分计算题
2. 求隐函数(组)的一阶偏导数
3. 求抽象函数的二阶偏导数
4. 求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程
5. 求函数的极值
6. 计算第一型曲面积分
7. 计算第二型曲面积分
8. 计算第二型曲线积分(格林公式)
9. 二重积分的计算
10. 高斯公式与斯托克斯公式
11. 求多元函数的方向导数
12. 曲线积分与路径无关问题
13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示
14. 应用--求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分)
15. 利用余元公式B(p,1-p)=,计算类积分值
二、解答与证明题(第小题10分,共30分)
1. 用定义证明多元函数的极限
2. 证明多元函数的连续性
3. 研究含参量积分的一致收敛性
4. 证明含参量非正常积分的连续性
5. 三重积分的证明题
6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题
7. 证明二重极限不存在
8. 多元函数的可微性证明
例题
一、计算题
1. 全微分计算题
公式:du=dx+dy+dz。
例1:求函数u=的全微分;
例2:已知函数z=z(x,y)是由方程x2+y2+z2-3x=0所确定的函数,求z(x,y)的全微分。
2. 求隐函数(组)的偏导数
例3:设,求。
例4:设2x+y+3z=0,x+y+z=e-(x+y+z),求,。
3. 求抽象函数的二阶偏导数
例5:设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax),求,其中f具有二阶连续的偏导数;
例6:设u=f(x2-y2,),求,其中f具有二阶连续偏导数。
4. 求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线
例7:求曲线:x2+y2+z2=6,x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。
例8:求曲线在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程。
例9:求曲面x2+2y2+3z2=21的平行于平面x+4y+6z=0的各切平面。
5. 求函数的极值或条件极值
例10:求f(x,y)=e2x(x+2y+2y2)的极值。
例11:求抛物线y=x2和直线x-y-2=0之间的最短距离。
6. 计算第一型曲面积分
例12:计算,其中S为锥面被曲面x2+y2=2ax所截得的部分。
例13:计算:,是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分。
7. 计算第二型曲面积分
例14:求I=,其中S是圆柱面x2+y2=1被平面y+z=1和z=0所截出部分的外侧。
例15:计算,其中是平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=1,z=1所围成的立方体的全表面的外侧。
8. 计算第二型曲线积分(格林公式)
例16:计算曲线积分,其中(y)和/(y)为连续函数,AmB为连接点A(
x1,y1)和点B(x2,y2)的任何路径,但与线段AB围成的区域AmBA的面积为已知常数S。
例17:求曲线积分,其中C为0<x<,0<y<sinx的正方向的围线。
9. 二重积分的计算
例18:计算:,其中D由x2+y21,x-y+10,0x1围成。
例19:计算I=,其中D由x=2,y=x,xy=1所围成。
10. 高斯公式与斯托克斯公式
例20:计算I=,其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线,从z轴正向看去,L为逆时针方向。
例21:计算,其中是三个坐标平面和平面x+2y+z=1组成的按片光滑曲面,取外侧。
11. 求多元函数的方向导数
例22:求函数z=ln(x+y)在位于抛物线y2=4x上一点(1,2)处沿这抛物线切线上的方向导数。
例23:在椭球面2x2+2y2+z2=1上求一点,使得函数f(x,y,z)=x2+y2+z2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值(不要求判别)。
12. 曲线积分与路径无关问题
例24:确定的值,使曲线积分I=与路径无关,并计算自点A(1,2)到点B(0,0)的I值。
例25:定常数a,使得任何不经过y=0的区域上曲线积分与路径无关,并求。
13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示
例26:将三次积分I=分别表示为柱坐标及球坐标的形式。
例27:设是由x2+y2=2z,z=1,z=2所围成的介于z=1及z=2之间的闭区域,f是上连续。利用柱面坐标将三重积分I=化为三次积分。
14. 应用:求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分)
例28:有一铁丝成半圆形x=acost,y=asint,0t,其上每一点密度等于该点的纵坐标,求铁丝的质量。
例29:,其中