平面几何中的向量方法.doc

§2。 平面几何中的向量方法
学****目的：⒈会利用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、间隔 、夹角等问题．
⒉培养和开展运算才能和解决实际问题的才能．
⒊体会几何论证的严谨、优雅，和它给人的美感和享受，锻炼自己的抽象思维才能．
§2。 平面几何中的向量方法
学****目的：⒈会利用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、间隔 、夹角等问题．
⒉培养和开展运算才能和解决实际问题的才能．
⒊体会几何论证的严谨、优雅，和它给人的美感和享受，锻炼自己的抽象思维才能．
教学重点:平面几何中的向量方法．
教学难点：平面几何中的向量方法．
教学方法：讨论式．
教具准备：多媒体投影．
教学过程：
　　（Ⅰ）新课引入：
师：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何意义,所以平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此可以用向量方法解决平面几何中的一些问题．（精品文档请下载）
本节课,我们就通过几个详细实例，来说明向量方法在平面几何中的运用．
（Ⅱ）讲授新课:
例1证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
：平行四边形ABCD．
求证：．
分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到， ，我们计算和．
证明：不妨设a，b，那么
a+b,a-b，｜a｜2，|b|2．
∴ （ a+b)·（ a+b）
= a·a+ a·b+b·a+b·b= |a｜
2+2a·b+|b|2． ①
同理　　　｜a｜2-2a·b+|b｜2． ②
①+②得 2（|a｜2+|b｜2)=2()．
所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
师:你能用几何方法解决这个问题吗？
生：（探究、研究得出本例的几何证法如右图）略．
师：由于向量可以运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性,他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进展运算操作,从而降低了考虑问题的难度.（精品文档请下载）
用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤，
⑴建立平面几何和向量的联络,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；
⑵通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如间隔 、夹角等问题；
⑶把运算结果“翻译"成几何关系．
例2，如图，平行四边形ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别和AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？（精品文档请下载）
分析：由于R、T是对角线AC上两点，所以要判断AR、RT、TC之间的关系，只需要分别判断AR、RT、TC和AC之间的关系即可．（精品文档请下载）
解：设a，b，那么a+b．
　　∵　和共线
　　∴　存在实数m，使得 =m(a+b)．
又　∵　和共线
　　∴　存在实数n，使得 =n= n（b— a)．
　　由= n，得
m（a+b）= a+ n（b- a）．
整理得　　　　　　a＋b＝0．
由于向量a、b不共线，所以有　，解得．
所以　　　　　　　　　　　．
同理　　　　　　　　　　　．
于是