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高等数学之空间解析几何与向量代数
第1页，共14页，2022年，5月20日，***22分，星期四
一、曲面方程的概念
求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的
化简得
即
说明: 动点轨迹为线高等数学之空间解析几何与向量代数
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一、曲面方程的概念
求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的
化简得
即
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
引例:
显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
解:设轨迹上的动点为
轨迹方程.
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定义1.
如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
两个基本问题 :
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
求曲面方程.
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
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故所求方程为
例1. 求动点到定点
方程.
特别,当M0在原点时,球面方程为
解: 设轨迹上动点为
即
依题意
距离为 R 的轨迹
表示上(下)球面 .
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例2. 研究方程
解: 配方得
此方程表示:
说明:
如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形.
其图形可能是
的曲面.
表示怎样
半径为
的球面.
球心为
一个球面
, 或点
, 或虚轨迹.
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二、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线,
其一般方程为方程组
例如,方程组
表示圆柱面与平面的交线 C.
C
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三、柱面
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
的坐标也满足方程
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
故在空间中
过此点作
柱面.
对任意 z ,
平行 z 轴的直线 l ,
表示圆柱面
在圆C上任取一点
其上所有点的坐标都满足此方程,
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定义2.
平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面.

表示抛物柱面,
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
z 轴的椭圆柱面.

z 轴的平面.

表示母线平行于
(且 z 轴在平面上)
表示母线平行于
C 叫做准线, l 叫做母线.
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定义3. 一条平面曲线
四、旋转曲面
绕其平面上一条定直线旋转
一周
所形成的曲面叫做旋转曲面.
该定直线称为旋转
轴 .
例如 :
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建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
故旋转曲面方程为
当绕 z 轴旋转时,
若点
给定 yoz 面上曲线 C:
则有
则有
该点转到
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思考：