全概率公式和贝叶斯公式.pptx

全概率公式和贝叶斯公式
全概率公式
贝叶斯公式
用条件概率为工具计算事件的概率,主要涉及三个定理:乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式。
全概率公式
定理6
设B1、B2、…为一列(有限或无限个)两两互不相容的事件,有
则对任一事件A,有
证: 因
由概率的完全可加性及乘法定理(已知P(Bk)>0)得
常称公式P(A)为全概率公式(total probability formula)。
从证明过程可以看出,并不一定要,而只要成立就可以了。
这个公式在从已知的一些较简单事件的概率去推算未知的复杂事件的概率中有着重要作用。常用的做法就是将一个复杂事件分解成若干个互不相容的较简单事件之和(如图所示,A被分解成AB1、AB2、…等若干部分之和),在通过分别计算这些较简单事件的概率并利用概率的可加性得到所要的结果。
B1
B2
B3
Bk
…
Ω
A
例23
袋中有大小相同的a个黄球,b个白球。现不放回地摸球两次,问第2次摸得黄球的概率是多少?
解:
第2次摸球是在第1次摸过以后再进行,但第1次摸球的结果未知,但只有两种可能的结果:
B1=“第1次摸球,得到的是黄球”
B2=“第1次摸球,得到的是白球”
现有
若用A表示“第2次摸得黄球”的事件,则用全概率公式,得
例24
盒中放有12个乒乓球,其中9个是新的,3个是旧的。第一次比赛时,从中任意地取出了3个来用,用完后仍放回盒中(新球用后成了旧球)。第二次比赛时再从盒中取出3个球来用,求第二次取出的3个球均为新球的概率。
解:
第二次取球时,盒中有几个新球是未知,这是与第一次取球的各种可能结果有关,故可设
A=“第二次取出3球全是新球”
Bk=“第一次取出3球中有k个新球”k=1,2,3,
按全概率公式,有
式中各项可直接计算,有
代入公式,得