如何使用matlab求解微分方程(组).ppt

TMU_BME_2013
Topic:
如何使用MATLAB求解常微分方程(组)
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微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程。未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。
MATLAB(matrix&laboratory)意为矩阵工厂(矩阵实验室).MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件,提供高级技术计算语言和交互式环境,主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
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Where ?
ODE
工程控制
航空航天
金融分析
医学生理
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Where ?
MAT
LAB
算法开发
数据可视化
数据分析
数值计算
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When ?
当对问题进行建模后,有常微分方程需要求解时。
在生物建模中,经常需要求解常微分方程。如药物动力学的房室模型的建模仿真。
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方法特点/ 说明
ode23 单步算法,2/3阶Runger-kutta法,累积截断误差(Δx)3
用于求方程的数值解(下同),使用于精度较低情形
ode45 单步算法,2/3阶Runger-kutta法,累积截断误差(Δx)3
大部分情况下的首选算法
ode113 多步算法,变阶Adams算法,高低精度均可达到 10-3 ~ 10-6
计算时间比ode45短
ode15s 多步算法,Gear’s反向数值积分,精度中等
若ode45失效,计算时间较长时可尝试使用,刚性方程首选算法
ode23s 单步算法,二阶Rosebrock算法,低精度
当精度较低时,计算时间比 ode45短
ode23t 采用梯形算法
适度刚性情形
ode23tb 基于隐式Runger-kutta公式的TR-BDF2算法
与ode23s相似,对于宽误差容限,比ode15s更有效
dsolve 求解常微分方程的解析解
只有在方程有解析解是才可使用
Simulink模块将方程可视化,GUI 操作简便
How ?
数值解
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在数学中,刚性方程是指一个微分方程,其数值分析的解只有在时间间隔很小时才会稳定,只要时间间隔略大,其解就会不稳定。
目前很难去精确地去定义哪些微分方程是刚性方程,但是大体的想法是:这个方程的解包含有快速变化的部分。
数值解是采用如有限元方法、数值逼近方法、插值方法等计算方法得到的解。只能利用数值计算的结果, 而不能随意给出自变量并求出计算值。
当无法藉由微积分技巧求得解析解时,这时便只能利用数值分析的方式来求得其数值解了。实际情况下,常微分方程往往只能求解出其数值解。
数值解?刚性方程?
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如何调用?
y=dsolve('e1,e2,...','c1,c2,...','v')
其中'e1,e2,...'为微分方程或微分方程组;
'c1,c2,...',是初始条件或边界条件;
'v'是独立变量,默认的独立变量是't';
y 返回解析解。如果没有初始条件,则求出通解,如果有初始条件,则求出特解。
用字符串表示常微分方程,自变量缺省时为t,导数用D表示微分。y的2阶导数用D2y表示,依此类推。
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如何调用?
[T,Y,TE,YE,IE]=solver('odefun',tspan,y0,options)
其中solver为ode23、ode45、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb 函数;
odefun 是函数句柄;
tspan 微分定义区间;
y0 为初值行矩阵;
T 值是t序列(为列向量);
Y 值是微分方程的解Y在各点t的值(为列向量);
TE 表示事件发生时间,可缺省;
YE 表示事件解决时间,可缺省;
IE 表示事件消失时间,可缺省;
options 是求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等,可缺省。
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使用ODE?时如何编写微分方程?
方式一:带额外参数,使用时需对参数进行赋值
function odefun(t,x,flag,R,L,C)  %用flag说明R、L、C为变量
xdot=zeros(2,1);  %表明其为列向量
xdot(1)=-R/L*x(1)-1/L*x(2)+1/L*f(t); 
xdot(2)=1/C*x(1);
end
方式二:无额外参数
function dC=odefun(t,C)
dC=[ *C(3)+-*C(1); %直接书写列矩阵
*C(1)-*C(2);
*C(2)-*C(3)];
end
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