高考数学压轴题.doc

高考数学―压轴题跟踪演练
，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>高考数学―压轴题跟踪演练
，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有
本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.
（Ⅰ）证法1：∵当
即于是有
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式
（i）当n=3时， 由 知不等式成立.

（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即
则
即当n=k+1时，不等式也成立.
由（i）、（ii）知，
又由已知不等式得
（Ⅱ）有极限，且
（Ⅲ）∵
则有
故取N=1024，可使当n>N时，都有
2．已知函数和的图象关于原点对称，且．
(Ⅰ)求函数的解析式； (Ⅱ)解不等式；
(Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围．
解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则
∵点在函数的图象上

∴
(Ⅱ)由
当时，，此时不等式无解.
当时，，解得.
因此，原不等式的解集为.
（Ⅲ）
①
②
ⅰ）
ⅱ）
3．对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x),
f(x)·g(x) 当x∈Df且x∈Dg
规定: 函数h(x)= f(x) 当x∈Df且xDg
g(x) 当xDf且x∈Dg
若函数f(x)=,g(x)=x2,x∈R,写出函数h(x)的解析式;
求问题(1)中函数h(x)的值域;
(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.
解：(1)h(x)= x∈(-∞,1)∪(1,+∞) 1 x=1
(2) 当x≠1时, h(x)= =x-1++2, 若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立

若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立
∴函数h(x)的值域是(-∞,0] {1}∪[4,+∞)
(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=
则g(x)=f(x+α)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.
另解令f(x)=1+sin2x, α=,g(x)=f(x+α)= 1+sin2(x+π)=1-sin2x,