函数的奇偶性.ppt

函数的奇偶性
y=x2
-x
x
当x1=1, x2=--1时,f(-1)=f(1)
当x1=2, x2=--2时,f(-2)=f(2)
对任意x,f(-x)=f(x)
偶函数定义:如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x)。那么f(x)就叫偶函数。
奇函数定义:如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)。那么f(x)就叫奇函数。
例1、判断下列函数的奇偶性
(3)
解:(1) 因为f(-x)=2x=-f(x),所以f(x)是奇函数。
因为 f(-x)=|-x|-2=|x|-2=f(x),所以f(x)是偶函数。
因为
是偶函数。
(1)
(2)
判断奇偶性,只需验证f(x)与f(-x)之间的关系。
(5)
(6)
(4)
定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件。
故f(2)不存在,所以就谈不上与f(-2)相等了,由于任意性受破坏。所以它没有奇偶性。
解:(4)
(5)函数的定义域为[-2,2),故f(2)不存在,同上可知函数没有奇偶性。
(6)
故函数没有奇偶性。
思考:
在刚才的几个函数中有的是奇函数不是偶函数,有的是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数的。那么有没有这样的函数,它既是奇函数又是偶函数呢?
f(x)=0
是不是具备这样性质的函数解析式只能写成这样呢?
例2、已知函数f(x)既是奇函数又是偶函数。求证:f(x)=0
证明:因为 f(x)既是奇函数又是偶函数
所以f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x)
所以f(x)= -f(x)
所以2f(x)=0
即f(x)=0.
这样的函数有多少个呢?
函数按是否有奇偶性可分为四类:
奇函数
偶函数
既是奇函数又是偶函数
既不是奇函数又不是偶函数
例3、判断下列函数的奇偶性
1、解:当b=0时,f(x)为奇函数,当b 0时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数。
2、解:当a=0时,f(x)既是奇函数又是偶函数,当a 0时,f(x)是偶函数。