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例说借助导数证明函数不等式人教版.doc

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例说借助导数证明函数不等式
用导数证明不等式是一种重要方法,其主要思想是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式;而如何构造辅助函数是用导数方法证明不等式的关键,下面举例说明。
一、直接作差构造函数
例1:求证不等式在等成立。
证明:令补充定义f(0)=0.
,补充定义g(0)=0,则
故由(1)、(2)可知,
点评:一般的,用导数证明不等式时要注意所构造的函数在区间端点处是否连续,即是否要补充函数在端点处的定义;另外要注意用到一个结论:设函数f(x)在区间[a,+上连续,在区间(a,+)内可导,且则x>a时,f(x)>0。
例2:,证明不等式: ;
证明:(1)对函数求导数:

于是
当在区间是减函数,
当在区间是增函数.
所以时取得最小值,
点评:.若f(x),g(x)差函数为非单调其差有极大值或极小值,用导函数求其极大值、极小值,从而证明不等式。
二、根据题目自身特点构造函数
1、变形(代换、比商等)后再作差构造函数
例3, 若
证明:令
点评:(1)代换作用:此题设代换实际上就是把原来取不到的x=0
值代换为可取到的t=1,把原来要研究函数在处的值,等价为研究函数在t=1处的值;(2)若令如何证?
2、用分离变量的思想构造函数

证明:原题等价于
说明:此题构造的方式不是直接作差或作商,而是根据题目的特点先用分离变量的方式将两个变量分别变形到式子的两边再构造函数。
3、端点变量法构造函数
(x)=xlnx, 0<a<b,则0<g(a)+g(b)-2g()<(b-

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