立体几何怪难题-理科.doc

立体几何提升训练
【例1】如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,垂直于底面,分别为的中点。
(1)求证:;(2)求与平面所成的角;(3)求截面的面积。
解:(1)证明:因为是的中点,, 所以。

由底面,得,
又,即,
平面,所以,
平面, 。
(2)连结,
因为平面,即平面,
所以是与平面所成的角,
在中,,在中,,故,在中, ,又,
故与平面所成的角是。
(3)由分别为的中点,得,且,
又,故,由(1)得平面,又平面,故,
四边形是直角梯形,在中,,,
截面的面积。
(1)以点为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示(图略)
由,得,
因为,所以。
(2)因为所以,又,
故平面,即是平面的法向量。
设与平面所成的角为,又。
则,
又,故,即与平面所成的角是。
因此与平面所成的角为,
【例2】如图,已知是底面为正方形的长方体,
,,点是上的动点.
(1)试判断不论点在上的任何位置,是否都有平面
垂直于平面并证明你的结论;
(2)当为的中点时,求异面直线与所成角的余弦值;
(3)求与平面所成角的正切值的最大值.
解:(1)不论点在上的任何位置,都有平面垂直于平面.
证明如下:由题意知,, 又
平面又平面平面平面.
(2)解法一:过点P作,垂足为,连结(如图),则,
是异面直线与所成的角.
在中∵∴
∴, ,
. 又.
在中, .
异面异面直线与所成角的余弦值为.
解法二:以为原点,所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示,则,,,,,
∴.
∴异面异面直线与所成角的余弦值为.
(3)由(1)知,平面,是与平面所成的角,
且.
当最小时,最大,这时,由
得,即与平面所成角的正切值的最大值.
【例3】已知平面,,与交于点,,,
(1)取中点,求证:平面。
(2)求二面角的余弦值。
解法1:(1)联结,∵,,AC=AC
∴,∴为中点,∵为中点,
∴, ∴平面
(2)联结,∵,
∴在等边三角形中,中线,
又底面, ∴,∴,
∴平面平面。过作于,则平面,
取中点,联结、,则等腰三角形中,,
∵,∴平面,∴,
∴是二面角的平面角
等腰直角三角形中,,等边三角形中,,
∴Rt中,,∴,
∴. ∴二面角的余弦值为。
解法2:
以分别为轴,为原点,建立如图所示空间直角坐标系,
∵∴,
∴是等边三角形,且是中点,
则、、、、、
(1) ∴,∴,∴平面
(2)设平面的法向量分别为,.
则的夹角的补角就是二面角的平面角;
∵,,,
由及得,,,
∴二面角的余弦值为。
【例4】如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点。
(I)求证:AF//平面BCE;
(II)求证:平面BCE⊥平面CDE;
(III)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。
【解】(I)解:取CE中点P,连结FP、BP,∵F为CD的中点,
∴FP//DE,且FP= 又AB//DE,且AB=
∴AB//FP,且AB=FP, ∴ABPF为平行四边形,∴AF//BP。
又∵AF平面BCE,BP平面BCE, ∴AF//平面BCE。
(II)∵△ACD为正三角形,∴AF⊥CD。∵AB⊥平面ACD,DE//AB,
∴DE⊥平面ACD,又AF平面ACD,∴DE⊥AF。又AF⊥CD,CD∩DE=D,
∴AF⊥平面CDE。
又BP//AF,∴BP⊥平面CDE。又∵BP平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE。
(III)由(II),以F为坐标原点,FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴(如图),建立空间直角坐标系F—=2,则C(0,—1,0),
显然,为平面ACD的法向量。
设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为
,即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°。
【例5】如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠, AB∥CD,AD=CD=2AB=2,E,F分别是PC,CD的中点.
(Ⅰ)证明:CD⊥平面BEF;
(Ⅱ)设,求k的值.
解:(Ⅰ)证明:
PA⊥平面ABCD,AD⊥CD.
∴ CD⊥平面BEF
(Ⅱ)连结AC且交BF于H,可知H是AC中点,连结EH,
由E是PC中点,得EH∥PA, PA⊥平面ABCD. 得EH⊥平面ABCD,且EH.
作HM⊥BD于M,连结EM,由三垂线定理可得EM⊥BD.
故∠EMH为二面角E—BD—F的平面角,故∠EMH=600.
∵ Rt△HBM∽Rt△DBF,
故. 得, 得.
在Rt△EHM中,
得
解法2:(Ⅰ)证