821高等代数-广西民族大学近几年硕士研究生招生考试初试试题.pdf

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GuangxiUniversityforNationalities
2019年全国硕士研究生招生考试初试试题
【B】卷
科目代码:821科目名称:高等代数
.番至/面
,写在试题卷、草稿纸等均视为无效。
、签字笔书写。
,请本人将答题纸放入试题袋内,密封后在封条与试卷袋骑缝处亲笔签名。
一、(15分)
设为非负整数,f(x)=xim-xin+'+x3p+2,g(x)=/_尤+1,且满足g(x)|/(x),
证明犯〃,p具有相同的奇偶性.
二'(15分)
设火,。2,…,%€R,记与=sinQ+%),i,j=1,…,〃,定义矩阵N=(囱)eR"*",
试对〃=2时计算行列式|小的值;当〃23时结果如何?
三、(15分)
几匹+I2+/=丸一3
已知线性方程组,x,+AX2+x3=-2,试讨论义取何值时,方程组无解、有唯一
%+%2+几13=-2
解和有无穷多组解.
四、(15分)
-11-r
已知/=-111,矩阵X满足N*X=,T+2X,其中4是4的伴随矩阵,求
1-11
矩阵X.
五'(20分)
已知3维线性空间忆有两组基:⑴但应右};(11){£3,2£2,3比
(1)若向量a在基⑴下的坐标为(1,1,-11,求a在基(II)下的坐标;
(2)定义线性变换A:A(£[)=£],A(£2)=2J,A(>3)=3£3-£],求A关于(H)的矩
阵尸.
六、(15分)
设二次型为f(x1,x2,x3)=ax;+ax;+(a-l)x;+2x,x3-2x2x3,
(1)求二次型/的矩阵的所有特征值;
""就佐亨
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(2)若/的规范形为疗+员,求。的值.
七'(15分)
已知线性空间%(K)的线性变换及线性子空间少如下:
U1、
中(X)=BTX—XTB,VXe“2(K),其中8
、0I
X”%!
W=2x\i+x22=°,x(jeK»,
“21X22>
(1)求力的一个基;
(2)证明%是中的不变子空间.
八'(20分)
设/是〃阶复方阵,tr(/)表示/的迹,证明:/"=0当且仅当
tr(/)=O,.=1,2,…,〃.
九'(20分)
已知4员。,。是线性空间修上的线性变换,且两两可互相交换,并有4C+BD=E,
这里E是单位变换,证明:keK/8)=kerZ㊉kerB.
”的就暗
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2021年硕士研究生招生考试试题
[A]卷
科目代码及名称:821高等代数
考生须知
,一律使用蓝色或黑色钢笔或签字笔。
,请将试题和答卷放入试题袋内密封后,在封条与试卷袋骑缝处亲笔签名。
一、(15分)
已知多项式/(x)=2/(x)+g(x),gj(x)=5/(x)+3g(x),证明:
(Ax),g(x))="(x),&(%)).
二、(15分)
123n—1n
1-1o...00
02—2・・・00
计算〃级行列式:D=
••••••••・•«••・•・・・
000…—5-2)0
000・・・n—1—(n—1)
三、(15分)
a
41012""\n
已知实数域上的〃阶矩阵4=%%-,满足㈤>2同一=1,2,…
•••«•••••・•・'1
证明:同*0
四、(15分)
2
设实二次型+ai2x2+---+ainxn),证明/(西,々,…,斗)的秩
i=\
等于下列矩阵A的秩
a\\a\2…a\n
aa
A—〃2122***2n
考试科目代码及名称:高等代数
"该如李
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五'(15分)
已知3维线性空间V有两组基:
(I)(U){0+2一£3,Ci+Zq}
(1)求基⑴到基(U)的过渡矩阵;
(2)若向量a在基⑴下的坐标为(2,2,51,求a在基(U)下的坐标。
六、(15分)
'100'
已知A=-110,矩阵X满足A*X=AT+3X,其中A*是A的伴随矩阵,求
0-14
矩阵X.
七、(20分)
设b是数域P上的〃维向量空间V的一个线性变换,CT2=(T,记
W={a-a(a)\aEV].
(1)证明cr的核8(0)=卬;
(2)证明V=W㊉b(V).
八、(20分)
设V是一个〃维欧氏空间,awO是V中一个固定向量。
(1)证明匕="|(x,a)=0,尤eV}是V的子空间;
(2)证明V,的维数等于
九、(20分)
设/是〃阶单位矩阵,4,4,…,a”是〃个互异实数,证明:存在〃阶实方阵X满足矩
阵方程:
a}0・・・0
X202,+2X2020+5/="电:.
;;0
a2•••an_
考试科目代码及名称:高等代数
"W亨
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2022年硕士研究生招生考试试题
[A]卷
科目代码及名称:821高等代数
善星希面
,一律使用蓝色或黑色钢笔或签字笔。
,请将试题和答卷放入试题袋内密封后,在封条与试卷袋骑缝处亲笔签名。
一、(15分)
'9-500、
设Z6+CN=0,〃=030,c=010,求忸+3勾。
3jI。
、2-2
二、(15分)
31-3-1
20-20
设/=,求力的逆。
3162
20407
三、(15分)
Q(110、
设a=,是4=121的逆矩阵的特征向量,求f的值。
11。12J
四'(15分)
设%,。2,…是非齐次线性方程组的一组解,则匕%+…+尢?也是该非
齐次线性方程组的一组解的充要条件是左+…+尢=1。
五'(15分)
设M是数域F上一个n维向量空间,火,心,…是其一组基,,是
/+%+…+4生成的子空间,叫=<t工尢=0,&eF,z=1,2,...,〃>。
i=i/=1
证明:(1)叼是P的子空间;(2)忆=%㊉%。
考试科目代码及名称:821高等代数
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六、(15分)
设Z为三阶矩阵,小。2,。3为线性无关的三维列向量,且满足
Aa{=/+%+%,4a2=4%+a1,Aa3=%
(1)求矩阵6,使得/(名,。2,。3)=(%,。2,%)8;
(2)求矩阵4的特征值;
(3)求可逆矩阵尸,使得P-/P为对角矩阵。
七'(15分)
在欧氏空间心={(%,。2,4,4)|4£却中,其内积定义为
4
《卬,生,%,%),3也也也))=工。也
令%=(i,o,o,o),%=,求看,二€R1,使得%,72,%,为为A’的标准正交基。
八'(15分)
证明:次数大于零的多项式/(X)是某一个不可约多项式方累的充分必要条件
是对任意的多项式g(x)有(/(x),g(x))=1或存在某一个正整数加使得/⑺."(X).
九'(15分)
设力为三阶实对称矩阵,且满足条件T—44=0,已知N的秩r(z)=2。
求:(1)/的所有特征值;
(2)当左为何值时,矩阵4+〃为正定矩阵。
+'(15分)
已知z是复数域〃阶方阵,则存在唯一4和,2,使得/=4+4,其中
「7s[H「00]”
4=uu",4=uuH,
1L°°JL°N.
7wC』是可逆的,N=O,。是可逆的且满足=U"。
(1)求/的秩;
(2)求方程组£4"i=4"(X)=r的解;
(3)求方程组=T,A^Y=X,(4¥)"=/tY"(X)=r的解。
考试科目代码及名称:821高等代数
『B囱亨
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2020年全国硕士研究生招生考试初试试题
[A]卷
科目代码:821科目名称:高等代数
考生须知
,写在试题卷、草稿纸等均视为无效。
、签字笔书写。
,请本人将答题纸放入试题袋内,密封后在封条与试卷袋骑缝处亲笔签名。
一、(15分)
已知多项式/(幻=/+/+2%2+刀+1,g(x)=x3+2x2+2x+\,求它们的最大公因式
(/(x),g(x)),并求它们的公共根。
二'(15分)
设4a2…a,,wO,计算下列行列式的值,并给出0=0的条件
1+q23…n
I2+3…n
D=123+60*,n
123…〃+%
三、(15分)
'2+/一工3=1
已知线性方程组,2玉+3电+3=3,试讨论左取何值时,方程组无解、有唯一解
X1+kx2+3七-2
和有无穷多组解。当有解时,写出其解表示式。
四'(15分)
已知3维线性空间V有两组基:
(I){与,.邑};(II){—£3,—2S2,-3£t}
(1)求基⑴到基(II)的过渡矩阵;
(2)若向量a在基(I)下的坐标为(1,2,31,求a在基(II)下的坐标。
五'(15分)
设A是一个3阶方阵,且满足下列等式
金帝历的行李
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"0-1n<oo3、
A-121=003
10。
,1-13,
求矩阵A,并求A的全部特征值。
六、(15分)
设4,4,4是"阶矩阵A的3个互不相同的特征值,即%,%分别是A属于4,4,4
的特征向量,证明:囚+£2+。3不是A的特征向量.
七、(20分)
设A是一个〃阶实对称矩阵,且|川<0,证明:必存在〃维向量x=(x”X2,…,X")'%。
使得f(x)—XTAX<0.
八'(20分)
已知目,如?是欧氏空间丫的一组标准正交基,设
a
%=£]+/一名,i=£1一“一2,卬=span{cif1,6Z2},
⑴证明号分别是W和卬上的标准正交基;
(2)求1=£2+2%在W中的***影夕,即求£eW,使。=£+/,yeW1.
九'(20分)
设A是〃维欧氏空间V的线性变换,1=/(单位变换),令
VJ={x|xeV,Ax=x},V2-|x|,|xeV,Ax=—
证明:V=M㊉匕.