(2011.06.09)工程数学(本)11春期末复习辅导(文本).docx

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顾静相
大家好!现在是工程数学(本)本学期期末网上辅导的时间,欢迎大家参与这次活动。我们首先对本课程的考核进行一些说明。本课程的考核形式为形成性考核和期末考
试相结合的方式。考核成绩由形成性考核成绩和期末考试成绩两部分组成,考核成绩满
分为100分,60分为及格。其中形成性考核成绩占考核成绩的30%,期末考试成绩占考核成绩的70%。形成性考核的内容及成绩的评定按《中央广播电视大学人才培养模式改
革与开放教育试点工程数学形成性考核册》的规定执行。
期末考试的考核内容为线性代数、概率论与数理统计两个部分,包括行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值及二次型、随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础等方面的知识。
期末考试采用半开卷笔试形式,题型不变。卷面满分为100分,考试时间为90分钟。半开卷考试是介于闭卷考试和开卷考试两者之间考试方式。半开卷考试与开卷考试
的差别就在于允许考生携带的资料的不同,开卷考试允许考生携带任何资料,而半开卷
考试只允许考生携带指定的资料,比如允许考生携带一张统一印制 A4纸,考生可以将自
己对课程学****内容的总结包括重点、难点、不好记忆的公式、定理等写在这张A4纸上带入考场,作为答卷的参考。
下面先给出各章的复****要求,然后针对重点内容给出一些综合练****与大家一起做好期末复****工作。
行列式复****要求
;
;
。
矩阵复****要求
,了解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上 (下)三角矩
阵、对称矩阵的定义,了解初等矩阵的定义;
、数乘矩阵、乘法、转置等运算;
;
,掌握矩阵可逆的充分必要条件;
,会用伴随矩阵法求逆矩阵,掌握求解简单的矩阵方程的方法;
,掌握矩阵秩的求法;
。
线性方程组复****要求
, 了解矢量组线性相关与线性无关的概念,
会判别矢量组的线性相关性;
,了解矢量组和矩阵的秩的概念,掌握求矢量组的
秩和矩阵的秩的方法;
,理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。
熟练掌握用矩阵初等行变换方法判断齐次与非齐次线性方程组解的存在性和惟一性;
;
,掌握求非齐次线性方程组通解的方法。
矩阵的特征值及二次型复****要求
、特征多项式及特征矢量的定义,掌握特征值与特征矢量的求法;
,相似矩阵的性质;
;
、二次型的矩阵表示、二次型的标准形,掌握用配方法化二次型
为标准形的方法;
,会判定矩阵的正定性。
随机事件与概率复****要求
、概率等概念;
,了解概率的基本性质;
,会求解较简单的古典概型问题;
,掌握条件概率和全概公式;
;
。
随机变量的分布和数字特征复****要求
、概率密度的概念,了解分布函数的概念;
、方差与标准差等概念,掌握求期望、方差的方法;
;
,了解随机变量独立性概念;
。
数理统计基础复****要求
、样本、统计量的概念,知道t分布,2分布,F分布,会查t,2,F分布表;
,掌握参数的最大似然估计法;
、有效性的概念;
,熟练掌握求正态总体期望的置信区间的方法;
,熟练掌握单正态总体均值的检验方法,会作单正态总
体方差的检验;
,会求一元线性回归方程的方法和

F检验。
刚才我们给出了本课程各章复****要求,希望大家按照这些要求,结合下面的综合练****题进行认真复****br/>综合练****br/>一、单项选择题
,B为n阶矩阵,则下列等式成立的是(
B A B

).
C.(A

B)

1

A

1

B1D.(AB)

1

A1B

1
正确答案:

A
x1
x2
a1

x2
x3
a2兼容的充分必要条件是(),其中ai
0,(i1,2,3).
x1
x3
a3

a2
a3

a2
a3
0

a2
a3

a2
a3
0
正确答案:B
().


是A的特征值,则(I
A)X
O的非零解矢量必是A对应于的特征矢量

=0是A的一个特征值,则AX
O必有非零解

A的特征矢量
正确答案:D

与
互斥,则下列等式中正确的是(
).
A.
B.
C.
D.
正确答案:A
,x2,
,xn是来自正态总体N(5,1)的样本,则检验假设H0:
5采用统计量U=
().


5
5
1/
5

5

5
1/
n
1
正确答案:C

是对称矩阵,则等式(
)成立.


A


A
正确答案:B

7
1
(
).
4
5
A.
7
4
B.
7
4
5
3
5
3
7
5
7
5
C.
D.
4
3
4
3
正确答案:D
(
)成立,则
元线性方程组AXO有唯一解.
A.

O
C.
D.
A的行矢量线性相关
正确答案:A
若条件()成立,则随机事件,互为对立事件.

或AB
(AB)
0或P(AB)1

且AB
(AB)0且P(AB)1
正确答案:C

(
未知)的一个样本
1
3
,记X
Xi,
3i1
则下列各式中(
)不是统计量.
3
.
Xi
i1

(Xi
)
(XiX)2
3i1
3i1
正确答案:C
二、填空题
1 1 2
.设
1
2
2
,则A
0的根是
.
1
A1
x
2
x2
1
4
应该填写:1,-1,2,-2
=B有解且r(A)=1,那么AX=B的相应齐次方程组的基础解
系含有
个解矢量.
应该填写:3

互不兼容,且
,则
.
应该填写:0
~B(n,p),则E(X)=
.
应该填写:np

x1,x2,
,xn来自总体X~N(0,1),且x
1n
,则x~
.
xi
ni1
应该填写:N(0,1)
n
,B均为3阶方阵,A
6,B3,则(AB1)3
.
应该填写:8
,若存在数
和非零n维矢量X,使得
,则称X为A
相应于特征值
的特征矢量.
应该填写:AX
X
(A)
,P(AB),则P(AB)
.
应该填写:

的期望E(X)
2,E(X2)9,那么D(2X)
.
应该填写:20
.
应该填写:统计量
三、计算题
1
0
0

1
1
1,求(AA)1.
1
0
1
解:由矩阵乘法和转置运算得
1
0
0
1
1
1
1
1
AA
1
1
1
0
1
0
1
3
2
1
0
1
0
1
1
1
2
2
利用初等行变换得
1
0
0
2
0
1
0
0
2
0
0
0
1
1
1
20
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
10
0
1
1
1
2
2
0
1
即(AA)1
0
1
1
1
1
2
.
2x1
4x2
5x3
3x4
5
3x1
6x2
5x3
2x4
5
4x1
8x2
15x3
11x4
15
解
利用初等行变换,将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵,即
2
4
5
3
5
2
4
5
3
5
3
6
5
2
5
1
2
0
1
0
4
8
15
11
15
0
0
5
5
5
1
2
0
1
0
1
2
0
1
0
0
0
5
5
5
0
0
1
1
1
0
0
5
5
5
0
0
0
0
0
x12x2
x4
,其中x2,x4是自由未知量.
方程组的一般解为:
x4
x3
1
令
x2
x4
0,得方程组的一个特解
X0
,,,
.
(0010)
方程组的导出组的一般解为:
x1
2x2x4,其中x2,x4
是自由未知量.
x3
x4
令
x2
1
,
x4
0
,得导出组的解矢量
X1
,,,
;
(2100)
令
x2
0
,
x4
1
,得导出组的解矢量
X2
,,,.
(1011)
所以方程组的通解为:
XX0k1X1k2X2(0,0,1,0)
k1(2,1,0,0)
k2(1,0,1,1),
其中k1,k2是任意实数.
~N(3,4).求:(1)P(1<X<7);(2)使P(X<a)=
数a.(已知
(),()

,
()
).
解:(1)P(1<X<7)=P(13
X
3
73)=P(1
X3
2)
2
2
2
2
(2)(1)=+–1=
(2)因为P(X<a)=P(X
3
a
3)=
(a
3
)=
2
2
2
所以a3
,a=3+2
=
2
(
,4)中抽取容量为
625的样本,计算样本均值得x=,求
的置
信度为99%的置信区间.(
)
解:已知
2,n=625,且u
x
~N(0,1)
n
因为x=,

,1
2
,u
2

1
u

7
6
2

0
6
1
n
625
2
所以置信度为
99%的
的置信区间为:
[xu
,x
u
]
[,]
.
1
n
1
2
n
2
1
1
0
2
0
0

1
2
1
,B
0
5
0
,求A1B.
2
2
3
0
0
5
利用初等行变换得
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
2
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
2
2
3
0
0
1
0
4
3
2
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
5
3
1
0
0
1
6
4
1
0
0
1
6
4
1
1
0
0
4
3
1
0
1
0
5
3
1
0
0
1
6
4
1
4
3
1
即
A1
5
3
1
6
4
1
由矩阵乘法得
4
3
1
2
0
0
8
15
5
A1B
5
31
0
5
0
10
15
5
6
4
1
0
0
5
12
20
5
取何值时,线性方程组
x1
x2
2x3
x4
2
2x1
x2
7x3
3x4
6
9x1
7x2
4x3
x4
1
有解,在有解的情况下求方程组的全部解.
解:将方程组的增广矩阵化为阶梯形
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1
7
3
6
0
1
11
5
10
9
7
4
1
1
0
2
22
10
19
1
1
2
1
2
1
0
9
4
8
0
1
11
5
10
0
1
11
5
10
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
由此可知当
1时,方程组无解。当
1时,方程组有解。
此时齐次方程组化为
x1
9x3
4x4
x2
11x3
5x4
分别令
及
,得齐次方程组的一个基础解系
X1
91110,X2
4501
令
,得非齐次方程组的一个特解
X0
8
10
00
由此得原方程组的全部解为
(其中
为任意常数)

,试求:(1)
;(2)
P(5X7).
(已知(1),
(2)
,(3)
)
解:(1)
(2)
, 9个,测得
直径平均值为
,若已知这批滚珠直径的方差为
,试找出滚珠直径均值的置

.
解:因为已知
,故选取样本函数
U
x
~N(0,1)
n
,经计算得


9
3
滚珠直径均值的置信度为
[
,
],又由已知条件
9
9
,故此置信区间为[,]
Gs2-38
四、证明题
,B是n阶对称矩阵,试证: A B也是对称矩阵.
证明:A,B是同阶矩阵,由矩阵的运算性质可知
(A B) A B
已知A,B是对称矩阵,故有A
A,B
B,即
(A
B)
A
B
由此可知A
B也是对称矩阵,证毕.
(A
I)(A
I)
0,则A为可逆矩阵.
证明:因为(AI)(A
I)
A2
I
0
,即A2
I
所以,A为可逆矩阵.

1,
2
,
3线性无关,令
1
12
2,232
23,343
1,证
明矢量组
1
,
2
,
3线性无关。
证明:设k11
k22
k3
30,即
k1(1
22)k2(32
23)k3(43
1)0
(k1
k3)
1
(2k1
3k2)2
(2k2
4k3)3
0
k1
k3
0
因为1,
2
,
3线性无关,所以
2k1
3k2
0
2k2
4k3
0
解得

k1=0,k2=0,k3=0,从而

1,

2

,

3线性无关.


,

相互独立,试证:

A,B

也相互独立.
证明:

P(AB)

P(B)

P(AB)

P(B)

P(A)P(B)

P(B)(1

P(A))
P(A)P(B)
所以A,.
, 为随机事件,试证:
证明:由事件的关系可知
而 ,故由概率的性质可知
今天的活动就到这里,大家还有什么问题,请随时与我们联系。谢谢大家参与这次活动。再见!