无界区域中一类半线性椭圆型方程边值问题.pdf.pdf

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第年卷月第期上海科技大学学报.. .

园无界区域中■类半线性椭圆型方程边值问题
. .堡竺.
数学系
【提要线性捕圃型方程:, 在无界区域中的零边值问
题. 证明在一定条件下存在正解. 并讨论解的唯一性厦,渐, 近性■、态.
工
关键词,塑里查坚· 兰竺望兰,无界区域
,
基本假设及定义
∈

设口为光滑例如口∈.,无界区域, 为一致椭圆算子
一壹∑口”却—,嘉—。
. 】。
考虑下列问题

假设对于区域口,有口口一,口⋯口⋯
。
数及,的假设如下;
¨∈:::口,口”有界,口口“,且满足一致椭圆条件∑,,一岛三≥口。,
,
常数矾
。口, ≥,
, :。, ,。。,,≥,∈,;

,,,≤∑, ·

,非负有界, 为自然数,,,∈Ⅲ一口
奉文收到日期年月日
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三: ;关于∈致成立, 为二闳球, :忸【—。,,.
一一■
,,~ ,成立, 那柬问题存在正解::
五.
定理■妁明放在§一, ;· . :. 一
在空间上定义滂谲箕中为属手的有界光滑区域,在第节中我们将分
别取为
.一。
其中
:壹, ㈤
』:,“,
· :。,州, 。,
。≤
因为,≤圭,。⋯,故≤圭,⋯¨,由假设,及嵌入定理
Ⅳ一,口/ 一知上而定义的泛函是有意义的.
局部解的存在性及解的一些估计
. 印
。
证呷由假:.容易知道

. , 与区域无茭
另外州≤,. ≤一,“。。‘
。,, “≤∑‘。
· . ““”
上面第二个不等式利用了。不等式取~三,,再刊,有界有
,
。,.⋯≤仅与,,有关, 而与区域无关. 由此得到
≥.。,一『,:
注意。,便得结论.
, 仍成立.
,
. ,
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证明设在。。一,由;收教定义, 对任何∈‘,当一对
。∑【。∑. 一。一.
特别地取: ,则
。∑: 】。∑
∑
。
≤∑%。西”
。∑. ∑%,
上面不等式利用了
∑置≤∑。∑,
∑≥∑% 一
即≥
下面证,一.
一:;』。,噎一,
≤』。:,,日一一
≤¨ 埘一目
。
≤圭日,一。■。.。
⋯
. .. ≤蠢“小
上而第一个不等式利用了恒等式
“,一“, 一, 一
第二个不等式利用了假设,,第三个不等式利用了不等式, 最后一个不等式利用了
口≤,口, ≥, .
因为在。中, 一,, 一关于也一致有
界,又因为嵌入映射’一紧,因此由定理知。
关于, 一的估计式, 我们印得: 一, ∞.从而一
≥一±庐
· ·
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一≥』一≠』
.
即≠是弱下连续的.
§理. 存在∈: , 使.’
作其
证明夸中
口
, ∈。,

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聘见
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