循环群讲义.doc

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本节将议论一类结构简单又富裕代表性的特别群
――循环群.(它是一类基本而又重要的群
,数学的一些
分支(数论、有限域论等)和它有亲密的联系
.)经过对循环群的学****br/>,可初步认识抽象代数研究问题的基本
方法和格式以及论文的写作方法
.本节主要内容是循环群的三大问题
:存在问题/数目问题/结构问题.
先看一个简单的例子:G
,103,102,101,1,10,102,103,

固定元
10的方幂.
一、循环群的看法

G
称为循环群
群
G
的每个元都是
G
...
a的方幂
乘方--针对乘法
.
中某个固定元
倍数--针对加法
记为G
(a),a称为G的生成元.
即
G(a)
G
是群,且
xG,kZ,st.
xak(乘法)
(注意
:k
与x相关!)
xka(加法)
.
.】
【一般状况下,假如没有特别申明运算是乘法或是加法,就默认是乘法形式
:(一般状况下)
a1是生成元.【原因:ak
(a
1)k】
【解决了循环群的存在问题
(
.同时,将获得结论:循环群在同构意义下只有这两种!
】
①整数加群(Z,),Z
(1)
1)【
1
是
阶
.
n(
1)
0
n
0
】
.
问题:还有其余生成元?(无)【设Z
(k)
1
(k)
1
nk(n,k
Z)
k
1】
*
实质上可进一步证明:
o(a)
G
(a)
只有两个生成元
a,a
1
.
【课外思虑题】
as,a
bt
ast
o(a)
s,t
Z
【设G
(b),则有b
a
st
1
s
1
or
1】
②模n节余类加群(Zn,
),Zn
([1]).
问题:还有其余生成元?(有)【Zn
([
1])
([n
1])】
*实质上可进一步证明:
o(a)
n
G
(a)的生成元为
r
当且仅当a
(r,n)1.
【若(r,n)
1,则urvn1
aaurvn
(ar)u(an)v
(ar)uev
(ar)u
(a)(ar).
反之,ar
(ar)
(ar
)k
ark
1
o(a)
n
是生成元,G(a)
a
e
n|rk
1
(r,n)
1.】
◎设p为素数,则
p阶循环群G
(a)有p
1个生成元:a,a2,
,ap1
.
◎设p为素数,则模
p节余类加群Zp的全部非零元都是生成元.
二、循环群的种类

设循环群G(a)同构于
(Z,),ifo(a)
.
(Zn,
),if
o(a)
n
证明注意领会生成元
a的阶在证明过程中的用途
!
(1)设o(a)
【作用:ak
e
k
0
】此时,令
:G
Z,ak
k,可证
是同构映照.(证略)
是映照:若ak
ah,则ak
h
o(a)
k
h
0
k
h,说明对应元独一
【
e
.易证
是满射/单射.
再证
的同态性:
x,yG
xak,y
ah
(xy)
(2)设o(a)
n【作用:ak
e
n|k】此时,令
是映照:若ak
ah,则akh
o(a)n
e
n|k
h
是单射:若[k]
[h],则n|k
h
k
h
mn
是满射:[k]
Zn,ak
G,st.
(ak)
[k]

kh
(a)
[k]
akh

kh(ak)(ah)(x)(y).】Zn,ak[k]
[h],说明对应元独一.
o(a)n
(an)meme.
再证
的同态性:
x,yG
xak,yah
(xy)(akh)[k][h](ak)(ah)(x)(y).
1
例1:循环群G
(a)的阶为n
生成元a的阶为n.【常用结论】
(a)
n,则(a)
Zn
G
Zn
,设G
n,若o(a)
n,则
①o(a)
,则(a)
Z
G
Z
矛盾;②o(a)
k
n,则(a)Zk
G
Zk
k
n也矛盾.
循环群的结构定理说了然什么?
【凡是无穷循环群都相互同构;有限循环群中,同阶则同构、不一样阶则不一样构
.】
例2:n次单位根群Un
x
C|xn
1与Zn同构.

2k
i
2k
isin2k
证法1
1
xk
en
cos
(k0,1,,n
1)
n
n
2k
i
2
i
2
i
2
i
2
i
en
(en
)k
Un
(en
)是循环群,且生成元en
的阶为n,因此Un
(en
)
Zn.
2k
i
证法2
直接成立同构映照
.令
en
k
可证
是同构映照
:
[
.
],
:从同构看法看,循环群只有两类
――整数加群与模n节余类加群.【解决了循环群的数目问题】
最后,议论循环群的结构问题
.这个问题从结构定理的证明过程便可获得.
三、循环群的结构
[结构定理]
设循环群G
(a),则有
o(a)
G
(a)
ak
|k
Z;o(a)
n
G
(a)
ak|k
0,1,2,
,n
1.
证明由结构定理的证明过程即得.
另证:直接证明两个会合相互包含.
【由运算关闭性,右集
左集;反之,
x
G(a)
x
(a)
ak(k
Z)相互互异,
此时xam
右集1;若o(a)
n,设mknr(0
rn),则am
aknar
ar
右集2】
至此,循环群所要研究的三大问题
:存在问题/数目问题/
论包含判断、数目、结构三大问题
.自然,还可进一步把循环群和其余看法相联合,研究新的性质
.比方在
此后学****中能够获得:循环群是互换群;循环群的子群仍是循环群;循环群的同态像仍是循环群等等.
四、课后思虑题
o(a)orn时,循环群G(a)的生成元有哪几个?在结构定理证明中a的阶用途是什么?
◎S3是否是循环群?
◎(Q,)不是循环群.【设Q(a),则a
a
Q
a
a0
1
Q
na(nZ)(2n1)a
0n】
2
2
2
◎循环群是互换群****题);但互换群未必是循环群.
比方:An
xC|xn
1是循环群,U
An是互换群但不是循环群.
n
1
◎,有限单群也是.
【单群】,即找出有限单群全部的同构类,
经全球上百名
的数学家约
40年的共同努力,终于在
1981年获得解决,这是数学史上的又一个非凡成就
.有限单群分类
的整个论证用了5000页以上的篇幅,分布在超出
300
篇文章之中,引用了好多新的群论看法和证了然大批
2
的定理.
3
内容总结
(1)§7循环群