第十一章 多元线形回归分析.doc

第十一章多元线形回归分析
第十一章多元相关与回归分析第一节多元线性回归模型
多元线性回归即多个自变量对一个因变量的线性回归。一、多元线性回归模型概念
以两个自变量的二元回归为例,如X1、X2和Y的关系存在关系式:E(Y) =α+β1X1+β2X2,则Y与X1和X2之间存在多元线性相关关系,这一方程即多元线性回归模型。
多元线性回归是多维空间中的超平面,如二元回归是三维空间中的一个平面。对于任意的(X1, X2),Y的期望值就是该平面上正对(X1, X2)的那个点的Y轴值,其与实际观测点之间存在随机误差,实际观测点Yi=α+β1X1+β2 X2+εi。二、模型的建立
总体未知情况下,以样本构造出一个平面来估计总体真实平面,即以平面?= a+b1x1+ b2x2去拟合原始观测数据。
拟合的准则是最小二乘法原理,使各观测值距离拟合值的偏差平方和最小,即∑(yi-?)2最小。由此计算出的a,b1, b2是对α, β1, β2的最佳估计。例如对施肥量X1、降雨量X2和产量Y的数据,SPSS输出结果(表1):
即得到?= ++
三、回归系数的意义
对于模型?= a+b1x1+ b2x2,b1可以解释为:当X2不变的情况下,X1每变化一个单位,Y将平均发生b1个单位的变化。
如果所有自变量都同时变化,那么ΔY= b1ΔX1+ b2ΔX2+?. biΔXi。例题:如果对产量、施肥量、降雨量做出了简单回归和多元回归模型:
A模型:产量=287+;B模型:产量=400+; C模型:产量=267++;
请计算:(1)如果在每亩土地上多施10斤肥料,可以期望产量增加多少? (2)如果在每亩土地上多灌溉5厘米的水,可以期望产量增加多少? (3)如果同时在每亩土地上多施10斤肥料,并且多灌溉5厘米的水,可以期望产量增加多少?
(4)由原始数据发现较高的施肥量和较高的降雨量是有联系的,如果照这样的趋势下去,那么在每亩土地上多灌溉5厘米的水,可以期望产量增加多少? 解:(1)ΔY=(10)=。
(2)ΔY=(5)=。
(3)ΔY=(10)+ (5)= 38. 1+=
(4)ΔY=(5)=30斤。,它表示当施肥量也变化时,产量怎样随着降雨量的变化而变化。
比较题2和题4,30斤的增产不只归功于降雨量,也包含施肥量的影响;,伴随着降雨量的增加而产生的。
四、自变量为定类变量时回归系数的解释
线形回归要求自变量和因变量都是定距变量,但当自变量为二项变量或定类变量时,可以将其转化为0-1变量/虚拟变量后再进行回归。
1、自变量为二项变量时:如研究存款额Y(百元)和年龄X1、性别
X2之间
的关系,令男性=1,女性=0(对照组)。如果得到如下多元回归方程:?= 33+12x1-,则x2的回归系数-,对于同年龄的人来说,男性的存款
额比女性平均减少910元。
2、自变量为定类变量时:如研究收入Y(百元)和文化程度X之间的关系,
1, 中学 1,大学 D1D1=D2=0代表小学程度(对照组),D1=1,D2=02D1,D2=1?=
33+12D1+30D2,D1的回归系数表示中学文化程度的人比小学文化程度的人收入平
均多1200元;D2的回归系数表示大学文化程度的人比小学文化程度的人收入平
均多3000元。
3、如果自变量为连续变量,但其与因变量的关系并不是线形关系,例如年龄X和身高Y的关系,可以把年龄划分成年龄段做为定类变量。对于有个水平的定类变量,需要设计n-1个虚拟变量来描述。
第二节多元线性回归模型检验
一、回归系数的估计和检验
在多元回归中,各个回归系数的估计值b1,b2?都围绕总体回归系数
β1,β2?近似正态波动,所以可以用样本回归系数的标准误差来构造总体回归系
数的置信区间。。
总体回归系数置信区间公式:βi= bi±tα/2SEi,
其中,i=1,2,?.k;查t分布表时的自由度为n-k-1。
例题:以表1为例,计算每个回归系数的95%的置信区间(k=1,2),已知n=7: 解:df=7-2-1=4;=;
β1= ±()=±;
β2= ±()=± 0,其他 0,其他
对回归系数进行检