线性代数第四章练习题答案.doc

线性代数第四章练****题答案
第四章
二次型
练****4、1
1、写出下列二次型的矩阵
2
(1)f(x1,x2,x3)=2x12?x2?4x1x3?2x2x3;
(2)f(x1,x2,x3,x4)=2x1x2?2x1x3?2x1x4?2x3x4。
解:(1)因为
?2
?
f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)?0
?2??2?
所以二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为:?0
?2?
0?1?1
0?1?1
2???1?0??
?x1
??x2?x?3
???, ??
2???1?。 0??
(2)因为
?0??1
f(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,x3,x4)?
1??1??0??1
所以二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为:?
1??1?
1000
1001
1000
1001
1??0?1??0??
?x1
??x2?x?3?x?4????, ???
1??0?。?1?0??
2、写出下列对称矩阵所对应的二次型: ?
?1?
1
(1)??
?2?1??2
12
??0
1?
??
2??1
?
?2?; (2)2
??
??1?
2?????0
?
12?11212
?112012
?0??1?2?。 1??2?1???
?
0?2
T
解:(1)设X?(x1,x2,x3),则
??1?
1
f(x1,x2,x3)=XTAX=(x1,x2,x3)??
?2?1??2
?
12
0?2
1??2??2?
??2??
?x1??x2?x?3??? ??
=x12?2x32?x1x2?x1x3?4x2x3。(2)设X?(x1,x2,x3,x4)T,则
??0??1?
f(x1,x2,x3,x4)=XTAX=(x1,x2,x3,x4)2
???1???0?
12?11212
?112012
?0??1?2?1??2?1???
?x1??x2?x?3?x?4???? ???
22
=?x2?x4?x1x2?2x1x3?x2x3?x2x4?x3x4。
练****4、2
1、用正交替换法将下列二次型化为标准形,并写出所作的线性替换。
22
(1)f(x1,x2,x3)=2x1?x2?4x1x2?4x2x3;
(2)f(x1,x2,x3)=2x1x2?2x2x3;
222
(3)f(x1,x2,x3)=x1?2x2?3x3?4x1x2?4x2x3。
解:(1)二次型f(x1,x2,x3)的矩阵?2
?
A=??2
?0?
?21?2
0???2?。 0??
A的特征方程为
??2
det?(E?A)=
20
20
2=(??2)(?2?5??4)=0,
??12
?
由此得到A的特征值?1??2,?2?1,?3?4。
对于?1??2,求其线性方程组(?2E?A)X?0,可解得基础解系为
?1?(1,2,2)T。
对于?2?1,求其线性方程组(E?A)X?0,可解得基础解系为: ?2?(2,1,?2)T。
对于?3?4,求其线性方程组(4E?A)X?0,可解得基础解系为: ?3?(2,?2,1)T。
将?1,?2,?3单位化,得?1?
1
11
?1?(,
122T
,), 33321
23
T
?2?
21
?2?(,,?
3323
),
?3?令
3
?3?(,?
21T
,), 33
?1??32
P=(?1,?2,?3)=?
?3?2??3
23132?3
2??3?2
??, 3?1??3?
??2?
则 PTAP=diag(-2,1,4)=?0
?0?
010
0??0?。 4??
作正交替换X=PY,即
122?
x?y?y?y3
12?1
333
?212?
?x2?y1?y2?y3,
333?
?x?2y?2y?1y3123?333?
二次型f(x1,x2,x3)可化为标准形:
222
?2y1?y2?4y3。
(2)类似题(1)方法可得:
?1??2?
P=?0
??1??2
??121212
?
1??2??0
?1?T
,PAP=?0?2?0?
?1?
?2?
020
??0?, ?