自考高等数学一微积分小抄笔记小抄习题解析-自考速记笔记.doc

该【自考高等数学一微积分小抄笔记小抄习题解析-自考速记笔记 】是由【lu2yuwb】上传分享，文档一共【6】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【自考高等数学一微积分小抄笔记小抄习题解析-自考速记笔记 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。第一章 函数及其图形
第二章 极限和连续
第三章 一元函数的导数和微分
第四章 微分中值定理和导数的应用
第五章 一元函数积分学
第六章 多元函数微积分
前 言
?高等数学一?共6章。
第一章 函数
;
;
,一般是4至5分。
第二章 极限和连续
本章内容在历年考题中所占分值为10%左右。
第三章 一元函数的导数和微分
主要是如何求函数的导数和微分
本章内容在历年考题中所占分值为10%左右。
第四章 微分中值定理和导数应用
本章在历年考题中所占分值为15%左右。
第五章 一元函数积分学
包括函数的不定积分和一元函数定积分。
本章内容在历年考题中所占分值为25%左右。
第六章 多元函数微积分
本章内容在历年考试题中所占比例为15%左右。
第一章 函数及其图形
预备知识
一、根本概念

具有某种特定性质的事物的总体。
组成这个集合的事物称为该集合的元素。

集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,称为A包含于B,或B包含A。
假设XA,那么必xB,就说A是B的子集,记作AB
数集分类:
N----自然数集Z----整数集
Q----有理数集R----实数集
数集间的关系:NZ,ZQ,QR.

假设AB,且BA,就称集合A与B相等。记作〔A=B〕
例1 那么A=C.

不含任何元素的集合称为空集〔记作〕。规定空集为任何集合的子集。
例2

1)并:由中所有元素组成的集合称为A和B的并集,记为AB
例3
例4
2〕交:由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集,记为AB
例5
例6
3〕差:由A中不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集,记为A-B
例7
二、绝对值
:
:
〔1〕,如需精美完整排版,请QQ:1962930当且仅当a=0时,
〔2〕
〔3〕〔4〕
:
〔1〕表示数轴上的点x与原点之间的距离为a。
〔2〕表示数轴上的两点x与y之间的距离为a。
:
k>0时,那么有
k>0时,那么有
例8 ,求x的值。
答案:x=±5
:
例9 化去以下各式绝对值的符号:
〔1〕如需精美完整排版,请QQ:1962930
〔2〕
〔3〕
〔4〕如需精美完整排版,请QQ:1962930
例10 解以下含有绝对值符号的不等式:
〔1〕
〔2〕
〔3〕如需精美完整排版,请QQ:1962930
三、区间
是指介于某两个实数之间的全体实数,这两个实数叫做区间的端点。
以上区间都叫有限区间
这两种形式的区间叫无限区间
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
四、邻域如需精美完整排版,请QQ:1962930
设a与是两个实数,且>0,数集称为点a的邻域,记作U(a)。
点a叫做这个邻域的中心,叫做这个邻域的半径。
点a的去心邻域,记作。
区间与邻域的关系:
例11 解不等式并用区间表示不等式的解集:
〔1〕
〔2〕
函数
一、函数的概念

设x和y是两个变量,D是一个给定的数集,如果对于每个x∈D,变量y按照一定法那么总有确定的数值和它对应,那么称y是x的函数,记作如需精美完整排版,请QQ:1962930
数集D叫做这个函数的定义域,当时,称为函数在点处的函数值。
函数值全体组成的数集
称为函数的值域。
:定义域与对应法那么。
约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。
例1、
例2、
例3、判断以下两个函数是否相等
例4、求函数的定义域
例5、符号函数

在自变量的不同变化范围中,对应法那么用不同的式子来表示的函数,称为分段函数。
例6、
例7、求下面分段函数定义域并画出图形。
例8、将下面函数化为分段函数
二、函数的表示法



函数的特性
一、函数的有界性
假设有成立,那么称函数f〔x〕在X上有界,否那么称无界。
例9、判断下面函数在其定义域是否有界
〔1〕符号函数y=sgnx
〔2〕y=x2
:
设函数f〔x〕的定义域为D,区间I∈D,
如果对于区间I上任意两点及当时,
恒有那么称函数f〔x〕在区间I上是单调增加的;
设函数f〔x〕的定义域为D,区间I∈D,如果对于区间I上任意两点及,当时,恒有那么称函数f〔x〕在区间I上是单调减少的。如需精美完整排版,请QQ:1962930
例10、求y=x2的单调性
例11、求y=sinx的单调性
:
设D关于原点对称,对于,有称f〔x〕为偶函数;
设D关于原点对称,对于,有f〔-x〕=-f〔x〕称f〔x〕为奇函数。
:
设函数f〔x〕的定义域为D,如果存在一个不为零的数l,使得对于任一那么称f〔x〕为周期函数,l称为f〔x〕的周期,且恒成立〔通常说周期函数的周期是指其最小正周期〕。如需精美完整排版,请QQ:1962930
例12、判断以下函数是否有界
〔1〕
〔2〕y=cosx
例13、判断下面函数的奇偶性
〔1〕
〔2〕
例14、判断函数是否是周期函数,如果是,那么求出最小正周期。
反函数
直接函数与反函数的图形关于直线y=x对称。
复合函数

定义:设函数y=f〔u〕的定义域Df,而函数的值域为,假设,那么称函数为x的复合函数。
x←自变量,u←中间变量,y←因变量;
注意:
;
例如:
不能符合成
。
例如:
这个函数是由复合而成。

〔1〕
〔2〕

〔1〕
〔2〕
〔3〕
〔4〕
初等函数
由根本初等函数经过有限次四那么运算和函数的复合运算所得到的函数,称为初等函数。如需精美完整排版,请QQ:1962930
根本初等函数:常值函数、指数函数、三角函数、幂函数、反三角函数、对数函数
〔1〕常值函数
如果当自变量在函数定义域中任意变化时,函数值f〔x〕恒等于一个常数C,即
f〔x〕=C,x∈D(f),那么称这个函数为常值函数。
〔2〕指数函数
形如f(x)=αx(-∞<x<+∞)的函数称为指数函数。其中底数α>0,α≠1
性质:
①当α>1时,函数y=ax单调增加;
②当0<α<1时,函数y=ax单调减少;
③指数函数经过点〔0,1〕,指数函数值大于0;
④对于a>0,x,y为实数,
我们规定:
运算法那么:
要求:指数函数通过掌握的图形,掌握指数函数的性质。
〔3〕三角函数如需精美完整排版,请QQ:1962930
有sinx,cosx,tanx,cotx,secx和cscx,它们都是周期函数。
①正弦函数y=sinx

②余弦函数y=cosx

③正切函数y=tanx

④余切函数y=cotx

要求:周期性、奇偶性、三角公式、特殊角的三角函数值。
同角三角函数根本关系式
①倒数关系:
②商的关系
③平方关系
两角和的正弦、余弦、正切公式
两角差的正弦、余弦、正切公式
倍角公式
降幂公式
积化和差公式
例3:利用降幂公式,将以下各式变形
〔1〕
〔2〕
〔3〕
特殊角的三角函数值
,求其他的三角函数值。
〔1〕tanx=3求其他的三角函数值如需精美完整排版,请QQ:1962930
〔2〕secx=5,求其他的三角函数值。
〔4〕幂函数
形如f(x)=xα的函数为幂函数,其中α为任意常数。
要求:掌握常用的幂函数:y=x;y=x2;y=x3;的图形,性质。
性质:
α为正整数时,幂函数的定义域是〔-∞,+∞〕;
α为负整数时,幂函数的定义域是〔-∞0〕∪〔0,+∞〕;
对任意实数α,曲线y=xα都通过平面上的点〔1,1〕;
α为偶数时,f(x)=xα为偶函数;如需精美完整排版,请QQ:1962930
α为奇数时,f(x)=xα为奇函数;
α>0时,f(x)=xα在〔0,+∞〕单调增加;
α<0时,f(x)=xα在〔0,+∞〕单调减少。
幂函数:y=xμ〔μ是常数〕
〔5〕反三角函数
①反正弦函数:y=arcsinx,x∈[-1,1]
②反余弦函数:y=arccosx x∈[-1,1]
③反正切函数:y=arctαnx x∈〔-∞,+∞〕
要求:明白反三角函数的三个含义及定义域。

〔1〕;
答案:
〔2〕;
答案:
〔3〕;
〔4〕;
〔5〕
例3.,求x的取值范围。
〔6〕对数函数:
对数函数的定义域是〔0,+∞〕;
常见的对数函数y=lgx及y=lnx
当α>1时,y=logαx在定义域内是单调增加的;如需精美完整排版,请QQ:1962930
当0<α<1时,y=logαx在定义域内是单调减少的。
对数函数
对数函数有以下性质:设a,b,c,x,y为任意正数,〔α≠1,c≠1〕,α为任意实数
①;
②;
③;
④;
⑤。
〔7〕幂指函数