复合函数奇偶性的判断方法.docx

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:函数的定义域必须关于原点对称,这样该函数可能有奇偶性。
2■定义法:x属于函数yfx)的定义域A,且-x属于A的条件下,如果f(-x)=-f(x)则y=f(x)为奇函数,如果f(-x)=f(x)则y=f(x)为偶函数。如果f(-x)=-f(x)=f(x)=0则y=f(x)为偶函数且奇函数。如果f(-x)=-f(x)=f(x)等于不为零的一个常数,则y=f(x)为偶函数。
3■根据函数图像对称性来判断:如果函数图像关于原点对称,贝9为奇函数,如果函数图像关于y轴对称,则为偶函数。
:要看每段上f(-x)与f(x)的关系,或要取绝对值符号,化简函数式。
5•复合函数奇偶性的判断:函数y=f(t)且t=g(x),如果f(t)为奇(偶)函数,则t=g(x)为奇(偶)函数。
互为反函数的关系判断:如果一个函数是奇函数,则它的反函数也是起函数,但偶函数就不能这样的关系。
用特殊值判断函数的奇偶性:比如:f(x)满足,f(xy)f(x-y)=2f(x).f(y),且f⑴不等于f(2),求证:f(x)为偶函数
工十1
例题:判定函数的奇偶性和单调性
分析:不难判定函数的定义域是;又因为
可得是奇函数,因此,把握在上函数
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的单调性,就能把握函数在定义域人上的单调性,将的解析式变形为
工+—
X
在区间上单调递减,在区间上单调递增,且
我们已经熟知函数
那么,由
(-00,-1)[l3+oo)
和两个区间上都是减函数;在区间
减,再由是奇函数就可判定在
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,利用函数的单调性的定义推证的单调性的目标就明确了.
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解:•.•函数
"2丘的定义域为
尹二了(工)两x2eR
故是奇函数,任取,
畑rm話”
彳%—屆—羽_%—右〔並再一1)
+1)
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才+1€+1
其中和恒为正数.
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皿T*,即弘"屈
由此可得计g,S-畑沁
15耳5咼-奄<0皿―1>0<0
时,,,
综上所述,函数
心二中在m和[*)上都是减函数,在(TJ上是增函数.
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说明:我们还可以利用函数的奇偶性和单调性对

图,我们发现:
当“0时,*)第当"0时,炖二当朴0时,如。
这说明图象位于第一、三象限,且通过原点,
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时,,说明图象向左、
向右都无限接近轴,
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在图象上我们还能推断:
再加上对丁⑴的奇偶性和单调性的推断,就可描绘出函数川对的图象,
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T时,
取得最小值为
当忑—
1/(x)2
时,取得最大值为
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通过上述对/㈤
从数量关系和几何特征的两个侧面的分析,使我们对函数能有
全面的了解.
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