高等数学基础内容1.doc

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第1章代数与方程

1整式及其加法与乘法
若干个字母与数相乘所得的式子称为单项式,例如:等都是单项式。若干个单项式之和的式子称为多项式。例如:等都是多项式。多项式中的单项式称为该多项式的项。单项式与多项式统称为整式。
整式的加法、减法和乘法的结果仍是整式。加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。减法是加法的逆运算。例如也可以写成。
如果两个整式经过整理后,它们的项除了次序外都相同,则称这两个整式相等。
整式的乘积有下列常用公式:
和的平方 , ()
差的平方 , ()
和与差之积 , ()
和的立方 , ()
差的立方 , ()
立方和 , ()
立方差 . ()
方差()
2因式分解
把某个整式化为若干个其他的整式之积的运算称为因式分解。
将公式()~()等号的左、右边反过来写,就是一组常用的因式分解公式。
对于二次式的因式分解,除了可以用公式()~()外,还可以用交叉相乘的方法(或称十字相乘法)。例如
.
.
如果知道了方程的两个根是和,则有因式分解公式
.
图1-1图1-2
对于三次式的因式分解,可以用公式()~()。
2
对于一元次的实系数多项式
()
(其中均为实数,)可以用公式().总可以分解成若干个一次和二次实系数因式的乘积,其中的二次因式不能再分解为两个实系数的一次因式。
对于复系数的次多项式,总可以分解成n个一次复系数因式的乘积。
:(1);(2).
解:(1)
.
(2).
二次方程的根是,.而方程的判别式小于0,方程没有实数根。所以在实数范围原式的因式分解为
.
分解因式有时要用到下面公式
()
3整式的除法
对于一个变量的多项式,如果,则称其为n次多项式。零次多项式就是只有常数项的单项式。如果该常数为零,即的所有系数均为0,则称其为零多项式,不规定次数,记作.
(不是零多项式),一定存在实系数的多项式和,使得
, ()
其中的次数小于的次数,或为零多项式。满足()式的和的惟一的。
除以,得到的商式是,余式是。除法可以用下例所示的竖式进行,类似于多位数的除法。
。
解:用竖式做了作法,有
4

得商式,余式.
如果f(x)除以g(x),所得余式为零,即

则称整除。这对应于整数除法“除得尽”的情形。此时的次数是的次数与的次数之差。
如果多项式整除多项式,就是的一个因式。如果同时整除多项式和,就是和的一个公因式,如果是和的一个公因式,而且,的任意一个公因式都是的因式,则称是和的最大公因式。例如,和的最大公因式是.
如果整式(多项式和单项式)和没有一次以上的公因式,即最大公因式是常数,则称和是互质的。
和整数情形类似,可以有整式和的最小公倍式的概念。例如,上述和的最小公倍式是.
4分式
设和是两个整式,形如(其中)的式子称为分式或有理式。是分子,是分母。
如果,且,都不是零多项式,。
如果整除,则是一个整式,它就是除以的商式.
如果为非零多项式,则有
.
所以分子和分母若有一次以上的公因式时可以约分。不能约分的分式(即分子和分母互质)称为既约分式。如果将一个分式用它的分子和分母的最大公因式约分,就将这个分式化为既约分式。
4
。
解: .
类似于分数的加、减,分式的加、减,通常是先通分,再将对应的分子做加、减。通分时,可取各分母的最小公倍式作分母。一般计算结果要化成既约分式。

1判别式
一元二次方程的形式是
, ()
其中,称为方程的判别式。如果,方程有两个不相等的实根;如果,方程有一个实根,或称它是方程的重根;如果,方程没有实根,但有两个互相共轭的复根。
2根和系数的关系
方程()的根x1和x2满足关系
()
3二次函数的图像和一元二次方程的根
设,如果画出的图像,则在的情形下,图像(抛物线)与x轴有两个交点,其横坐标分别是方程()的两个不同实根x1和x2。在的情形下,图像与x轴有一个交点,即抛物线和x轴相切,切点的横坐标x1就是方程()的重根。在的情形下,抛物线与x轴没有交点,表示方程()没有实根。
,方程:(1)有两个不同实根;(2)有重根;(3)没有实根。
解:判别式,所以:
(1)当,即或时,方程有两个不同实根;
(2)当,即m=–20或20时,方程有重根;
(3)当,即时,方程没有实根,这时方程有两个互为共轭的复根。
5
,若x1,x2是方程的两个根,求,和的值(用b,c表示)。
解:由根和系数的关系,有

所以有

,
,

.
%的盐酸500ml,第一次倒出若干,再用水加满至500ml,第二次倒出同样多的溶液,再用水加满至500ml,这时容器中的盐酸浓度为27%。问每次倒出的溶液为多少?
解:设每次倒出xml,第一次倒出x后,余下浓度为75%的溶液500–x,(500–x).再加水后的浓度是。
第二次倒出x后,余下浓度为的溶液500–x,内含纯酸
,
所以再加入xml的水后,浓度为
.
这是一个一元二次方程,可化为

两边开方得
,.
因为x满足0<x<500,所以取(ml),
即每次倒出200ml。

1配方法
。
6
解:将方程左边配方,有
,
原方程化为
.
两边开方得
,
所以解得
,即;,即。
2公式法
如果,一元二次方程()的解的公式是
,.
在的情况下,,它们是方程的重根。如果,方程()有一对共轭的复根
,.
其中i是虚数单位,满足方程,或记成。
对于实系数的n次代数方程(),当n=3和n=4时,一般可以在数学手册上查到解的公式(或方法)。它是通过方程系数的+,–,×,÷和开方运算来表示方程的根,公式较为复杂。对于的情况,不能用这样的公式来表示方程的根。
3分解因式法
。
解:将方程左边作因式分解,得
,
所以和都可使原方程成立。再分别解得
.
对于实系数的代数方程(),理论上总可以把方程左边的多项式分解为若干个一次因式和二次因式的乘积,若能做出这种分解,便可进一步求解。但是一般情形较为复杂,只有在一些简单情形下才能这样解方程。
。
7
解:经分解因式得
,
转化为求解方程和方程。前者有一实根x=1。后者因判别式小于零,没有实根。
,解方程。
解:方程左边分解因式

,
所以原方程化为方程,它的解是和,后者是二重根。
从以上几个例子可以看到n次代数方程()的性质,即n次代数方程有n个复数根(重根重复计算)。方程可能有实根,也可能没有实根。如果方程有非实数的复数根,一定是共轭地成对出现。,则实数为()
A.-2B.-.-2或1
解:若为实数,因=-1,=,又3=||,
所以9=()2=()2-4=1-4,=-2
若为虚数,设,3=||=2,
又==-1,,所以===,选择B
()
A.
B.
C.
D.=()2()
解:对于A,用十字相乘法或多项式乘法运算可知,正确;对于B,用综合除法或多项式乘法运算可知,正确;观察系数可知,其含有因式,用综合除法可得
,不正确,选择C
,则()

解:设方程的两根为,的两根为,则
8
,=
,,
依题意,=
所以=
即,,
由于题设两个方程不同,所以,于是,选择D
>0,则不等式<0的解集是_____
解:<0,∵>0,∴因式分解后为()()<0,
解得<-或0<<,
所以原不等式的解集为(-∞,-)(0,)
,则,,中为定值的是_____
解:由韦达定理知,,
所以有=3这定值;
=()2-为定值;
=()(=不是定值,
所以,是定值。
<0的解集中仅含唯一的正根1,求实数的范围,
解:<0,即<0,
若<0,则不等式的解集为,其中不可能有正根1;
若>0,则不等式的解集为,
因含有唯一正根1,所以<<2,解得<<;
综上,实数的范围是(,)
7.,
设集合,设,求
解:由韦达定理,方程()的解=10,
9
所以方程的正整数解可能情形有(1,9)(2,8)(3,7)(4,6)(5,5),
所以有25>24>21>16>9,从而有=16
:中含有因式
解法一:设=,
则=
===
解法二:=
用综合除法可得=
第2章平面几何

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形为三角形,三条线段都相等的三角形为等边三角形(也称正三角形);有两条线段相等的三角形为等腰三角形.
等腰三角形是轴对称图形,底边上的高,中线,顶角的平分线重合(简称三线合一);
三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
三角形内角和是,三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和,大于任一个与它不相邻的内角;
三角形的三条高交于一点,此点为垂心;
三角形的三条中线交于一点,此点为重心,重心分中线成2:1的两部分;
三角形的三条角平分线交于一点,此点为内心,以内心为圆心,内心到各边的距离为半径的圆为三角形的内切圆;
三角形的三条垂直平分线交于一点,此点为外心,以外心为圆心,外心到各顶点的距离为半径的圆为三角形的外接圆;
三角形的某一内角平分线内分对边所成两线段之比与夹此角两边之比相等;
三角形的某一角的外角平分线外分对边所成两线段之比与夹此角两边之比相等.
,交圆于两点,是两条切线,为切点,交于,求证:
证明:,连结,则为的内角平分线,为的外角平分线,∴,,由合,分比定理,得
=(1)
10
O
P
A
B
C
D
M

=(2)
两式相加,得+=2,所以

由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的图形为四边形,有两组对边平行的四边形为平行四边形,有一个角是直角的平行四边形为矩形,有一组邻边相等的平行四边形为菱形,有一组邻边相等且有一个角为直角的平行四边形为正方形,有一组对边平行,而另一组对边不平行的四边形为梯形。
平行四边形两条对角线长的平方和等于四边的平方和;
菱形的两条对角线互相垂直平分,菱形面积为两条对角线长之积的一半;
梯形两腰中点连线等于两底和的一半,两对角线中点连线等于两底差的一半;
,在直角梯形中,==,=,为边上一点,且,求证:=
证明:过点作交延长线于,由===,
而=,则是正方形,于是,
又,则,,故有,因此
A
B
C
D
E
M

,则=

不在同一条直线上的三个点确定一个圆,
过圆内一点作圆的两条弦,,则点内分,所成四线段有数量关系:
过圆外一点作圆的两条割线,,则点外分,所成四线段有数量关系:
过圆外一点作圆的一条割线与一条切线,则
垂径定理:在圆O中,半径与弦相交于点C,且点C是中点,则⊥