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第8章数学概念与思维方法简介

1、数学概念的意义和结构

人们对客观事物现象的认识一般是通过感觉、知觉、思维形成观念(表象),这是感性认识阶段。在感性认识基础上再经过比较、分析、综合、抽象、概括等一系列思维活动,从而认识事物现象的本质属性形成概念,这是理性认识阶段。理性认识在实践基础上不断深化,概念又会进一步发展。数学概念的产生和发展也是如此。例如,人们对圆的认识,从太阳、满月等物体形状的感觉、知觉形成了圆的观念,又在这个基础上,人们为了制造圆形工具或器皿需要画圆,从而逐步认识圆的本质属性,知道:“圆是平面内到定点的距离等于定长的点集合(或封闭曲线)。”这样就形成了圆的概念。
我们知道,数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其特有的属性(或本质属性)在思维中的反映。一个数学概念通常用一个名称或符号来表示。例如,一切有理数所组成的集合这个概念通常用名称“有理数集”或符号“Q”来表示。
数学概念的产生,有些是直接从客观事物的空间形式和数量关系反映得来的。例如,自然数概念是从手指的个数,或其他单个事物集合元素的个数,或者从事物排列的次序抽象概括得来的。又如几何中的点、线、面、体、平行、垂直、多边形、圆、柱、锥、台等概念都是直接从物体的形状、大小、位置关系抽象概括得来的。可是数学中的大多数概念是一些数学概念在实践活动的基础上,经过多级的抽象概括过程才产生和发展而成的。例如无理数、复数的有关概念,分别是在有理数系及实数系的实践活动中产生出来的。至于近代或现代数学中许多概念,如集合、关系、映射、环、群、域等概念的产生和发展过程就更复杂了。但是,数学概念不论如何抽象,它们还都是现实世界空间形式和数量关系及其本质属性在人的思维中的反映。

在一个科学体系中,任何一个概念都反映事物的一定范围(即事物的集合)和这个范围内的事物的共同本质。概念所反映事物的范围(或集合)叫做这个概念的外延,这些事物的本质属性的总和(或集合)叫做这个概念的内涵。概念的外延和内涵是分别对事物集合的量和质的描述,例如△ABC的顶点,这个概念的外延是A,B,C三点所组成的集合,它的内涵包括点的性质和其中任一点同在这三角形的两边之上这个性质。又如在自然数系中,偶数这个概念的外延是集合{2,4,6,8,…},它的内涵是“能被2整除的自然数”这个性质。
要明确概念的外延和内涵。要对概念加深认识,还要研究概念的外延和内涵之间的相互关系。两个同类的概念中,它们的外延和内涵有些存在包含和被包含的关系。用符号
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É和Ì分别表示包含和被包含的关系,易知:
四边形外延É平行四边形外延É矩形外延É正方形外延;
四边形内涵Ì平行四边形内涵Ì矩形内涵Ì正方形内涵。
可见,当概念的外延缩小时,则概念的内涵反而增多。例如四边形的外延缩小为平行四边形的外延,平行四边形的内涵比较四边形的内涵反而增多了象“两组对边平行”这样的本质属性;又当概念的外延扩大时,则内涵反而减少。反之,当概念的内涵愈增多,则外延愈缩小;当概念的内涵减少时,则外延扩大。外延和内涵的这种变化关系,在逻辑学里叫做反变关系。
在数学中为了对概念加深认识,或者为了用较一般的概念来说明特殊的概念,往往采取逐步增加概念的内涵同时缩小概念的外延的方法来研究概念间的关系和性质。这种方法叫做概念的限定。例如在平行四边形的内涵中增加“有一内角为直角”这个性质,就成为矩形的内涵。这样,平行四边形的外延就缩小为矩形的外延。于是对平行四边形与矩形的关系以及对矩形的性质都加深了认识。
此外,为了认识同类概念的共同性质或者为了揭露某类事物的最一般性质,有时把概念的内涵逐步减少,使概念的外延逐步扩大。这种方法叫做概念的概括。许多数学概念是从另一些概念概括得来的。例如从1斤,1尺等量的单位,不考虑各个单位的量的特点,可以概括成为数的单位1。又如从木球,铁球等物质球体,不考虑它们物质的特点,可以概括成为几何中的球体。再如从数集的四则运算,不考虑各种数集及其运算的特有性质,只考虑集合的性质及运算律等性质,可以概括成为群、环、域等概念。在数学教学中,常用概念概括的方法从一些概念概括出高一度抽象的概念。
2概念间的关系
同类概念之间还有各种各样的关系,如同一关系、从属关系、交叉关系、并列关系、对立关系等。认识概念间的各种关系,不仅有助于对概念加深理解,而且有助于运用概念进行推理判断。下面分别说明上述各种关系的定义。
(1)同一关系
如果两个概念的内涵不同,但它们的外延完全相同(全部重合),则这两个概念之间的关系叫做同一关系。
例如,一个等腰三角形底边上的高线和中线,这两个概念的外延是同一条线段,但是这两个概念的内涵是不相同的:高线内涵具有与底边垂直的性质;中线内涵具有过底边中点的性质。所以,这两个概念的关系是同一关系。又如,在同一个圆中,直径和最大的弦也是同一关系。在同一论证过程中,具有同一关系的两个概念可以互相代替。
(2)从属关系
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不同同一关系的两个概念甲和乙,如果甲概念的外延包含乙概念的外延,那么甲概念的外延就大于乙概念的外延,而这两个概念间的关系又叫做从属关系,其中甲概念叫做乙概念的上位概念或种概念,乙概念叫做甲概念的下位概念或类概念。例如等式是方程的种概念,方程是等式的类概念。概念的从属关系是相对的,例如方程又是整式方程的种概念,而整式方程是方程的类概念。
根据概念外延与内涵的反变关系可知,种概念的外延包含它的类概念的外延,则类概念的内涵必包含它的种概念的内涵。也就是说,类概念必具有它的种概念的一切属性而且还具有它自己特有的属性。这种关系在推理、证明中经常用到。
(3)交叉关系
两个概念的内涵不同,而它们的外延有一部分是相同的,这两个概念的关系叫做交叉关系。
例如等腰三角形与直角三角形的关系就是交叉关系。概念的交叉关系在数学中也常用到,例如方程组是否有解就是看组成这个方程组的各个方程的解集是否是交叉关系。
(4)并列关系
两个概念都是某一概念的类概念,而且这两个概念的外延没有公共部分。则这两个概念的关系叫做并列关系。
易知,具有并列关系的两个概念,它们的内涵必有公共部分,即它们的种概念的内涵。此外,它们的内涵分别有各个概念本身特有的属性。
例如在有理数系中,正有理数和负有理数是并列关系,它们都具有有理数的一切属性。但是正有理数具有大于零的特性,负有理数具有小于零的特性。这就是正数和负数的根本区别。
由此可见,根据并列关系来认识概念间的共性和特性,对掌握概念来进行推理会有帮助的。
(5)对立关系和矛盾关系
如果某一概念的两个类概念的内涵有部分是对立的,外延是互相排斥的,则这两个概念的关系叫做对立关系。例如等边三角形和不等边三角形,这两个概念是对立关系。
如果两个概念的内涵互相否定,则这两个概念的关系叫做矛盾关系。例如,直角三角形和非直角三角形,这两个概念的关系是矛盾关系。
互为对立关系的两个概念有时还有它们共同的并列概念或者叫做中间概念。例如等边三角形和不等边三角形两个对立概念的中间概念是等腰三角形。
至于矛盾概念则没有中间概念。因此,对于两个矛盾概念来说,是有“非此即彼”的推理规律。例如在三角形中,直角三角形与非直角三角形,二者必居其一,不可能有第三种情况存在。
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3、概念的定义和原始概念
在数学科学系统中,对于每一个数学概念都要给予确定的内容和含义,定义概念就是准确地揭示它的内涵和外延。
(1)定义的几种方式
(i)种概念加类差的定义方式。
在数学中,给概念下定义常常用“种概念加类差”的方式。根据概念的从属关系,我们规定定义中的种概念是指包含被定义对象的上位概念中最邻近的或者说外延最小的种概念。类差是指被定义概念在它的种概念里区别于其他类概念那些本质属性。
例如定义两组对边平行的四边形叫做平行四边形。在这个定义中,四边形就是平行四边形最邻近的种概念,类差是“两组对边平行”这个本质属性,而且这个属性就是平行四边形所独有的属性。这种定义方式主要是揭示概念的内涵的。
用种概念加类差的定义方式,好处在于能用已知的种概念的内涵来揭示被定义概念的内涵,用类差来揭示被定义概念的特有性质。这样的定义方式既准确又明了。它有助于建立对象之间的联系,使知识系统化,便于巩固已学的知识。
(ii)发生定义方式
发生定义是种概念加类差的一种特殊形式。定义中的类差是描述被定义概念的发生过程而不是揭示它的特有的本质属性。
例如,圆也可以这样下定义:在平面上,一个动点与一定点距离相等运动所成的轨迹叫做圆。在这个定义中,类差是描述圆的发生过程。
(iii)揭示外延的定义方式
数学中有些概念,不易揭示它的内涵,而是直接指出概念的外延作为它的定义。
例如,零指数的概念规定为a0=1(a≠0)。又如有理数的定义:正整数、负整数、正分数、负分数、零统称为有理数,这些定义都是揭示外延的方法。
(2)下定义的基本要求
为了正确地给概念下定义,定义要符合下列基本要求:
(i)定义应当相称。即定义所确定的外延与被定义概念的外延必须是相等的,不能扩大也不能缩小。
例如,把平行线定义为两条不相交直线。这个定义是不相称的,因为定义所确定的外延包括了异面直线。平行线的正确定义应该是:在同一平面内,两条不相交的直线叫做平行线。
又如,把无理数定义为有理数开不尽的方根。这个定义也是不相称的。因为数p,e,lg3等也是无理数,而不是有理数开不尽的方根。这个定义把无理数的外延缩小了。
(ii)定义不能恶性循环。在一个科学系统中,如果把甲概念作为已知概念来定义乙概念,但是又用乙概念来定义甲概念,这就是定义的恶性循环。例如用两直线垂直来定义直角,又用两直线成直角来定义垂直。这样的定义既不能揭示概念的内涵也不能确定概念的外,所以定义不能恶性循环。
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(iii)定义一般不能用否定形式。定义是为了揭示被定义概念的内涵,因此定义应对被定义概念的本质属性用肯定形式而不应用否定形式。例如把无理数定义为“不是有理数叫做无理数”。这个定义既不能揭示无理数的本质属性也不能确定它的外延,达不到下定义的目的。但是有些概念的特有属性就是缺乏某个属性,应当作为例外。如平行线的定义。
(iv)定义应简明。即定义中不应列举非本质属性或者多余的词语。例如,把平行四边形定义为“两组对边平行的平面四边形”,其中“平面”一词是多余的,因为平行的或相交的直线必共面。
(3)原始概念
在一个科学系统中总是要对概念下定义,就是说要用一些已知的概念来定义新概念,这样就构成一个概念的序列。可是概念的个数和是有限的,所以在这个概念的序列中总有一些概念是不能引用别的概念来定义它的,这样的概念叫做在这个科学系统中的不定义的概念或者原始概念。例如数学中数、量、点、线、面、空间、集合、元素、对应等都是原始概念,其中有的是通过公理来间接定义的。但是在教学过程中对原始概念一般是采取描述法和抽象化法明确概念的,用直观说明或者指明对象的方法。例如说:由事物组成的集体称为集合,这是说明集合的方法而不是集合的定义。又如用拉紧的绳和由小孔中射入的光线来抽象出直线的概念,也是一种直观说明的方法;又如说:1,2,3,…叫做自然数,这就是明对象的方法。
4、概念的分类
概念的分类是揭示概念外延的逻辑方法。概念的分类就是把被分类的概念作为种概念,并根据一定的属性把它的外延分成若干个并列的类概念,其中那个属性叫做分类的根据。通过概念的分类可以更深刻认识概念的外延,并把概念知识系统化。在数学教学中常常用分类方法对概念进行系统复****br/>例如,根据边的大小关系,把三角形可分为三类:不等边三角形、等腰三角形(二等边)、等边三角形。如果根据角的大小关系,又可分为另外三类:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。如果先按边的大小分类后,再继续按角的大小关系来分类,则可分为七类,即不等边锐角三角形、不等边直角三角形、不等边钝角三角形、等腰锐角三角形、等腰直角三角形、等腰钝角三角形、等边三角形。
可见分类的根据不同则分类的结果也不同。
正确的分类应符合下列几点要求:
(i)分类是相称的
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即要求分类所得的并列类概念的外延的总和等于被分类概念的外延。而且被分类概念的每一个对象都应当落到一个且仅只一个类概念内。
例如,把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,这个分类是相称的。如果把平行四边形分为正方形、菱形、邻边不等的矩形,这个分类是不相称的。因为正方形也是菱形,同一对象可能落到两类内,而且漏掉邻边不等的平行四边形。
(ii)每一次分类要用同一个确定的根据
我们所以要将事物分类,总有一个实践的目的。因此,由于实践目的不同,分类的根据也就不同。但每一次分类却不能用两个或两个以上的根据,更不能以这个根据分出一类,又用别的根据分出另一类,以避免产生混乱。例如,对于三角形进行分类时,一会儿以角的大小分出直角三角形,一会儿以边的大小分出等边三角形,就会发生混乱。
(iii)应把种概念分为最邻近的类概念。即分类不应当越级。
例如,把实数分为有理数和无理数两类是正确的。如果把实数分为整数、分数、无理数就越级了。越级分类可能把概念的系统搞混乱。
5、概念的基本要求。
我们知道,理解并牢固掌握数学概念是学好数学公式、定理、方法,提高能力的基础。因此,数学概念的十分重要。
中学数学里有各种各样的数学概念,由于各个概念的具体内容和它在数学中的地位和作用不同,数学概念有主要和次要之分,有难学和易学之分,有一般和关键之分。因此,对各个数学概念教学的具体要求也应有所区别。一般说来,对数学中一些重要概念要求应使大家得到较系统的知识。即使人们认识了概念是如何产生和发展的,但要明确数学概念,最主要的就是要掌握概念的内涵和外延及其表达形式(包括定义、名词、符号),还要了解有关概念之间的关系,成为系统的知识,并能运用概念知识来解决数学问题。即要求理解、巩固、系统、会用。为了达到这样的要求,下面探讨有关问题。
(1)数学中如何引入新数学概念
前面曾经指出,有的数学概念是直接从客观事物的空间形式和数量关系反映而来的,有的则是在抽象的数学理论基础上经过多级抽象才产生发展得来的。但是,数学概念不管如何抽象,都有它的具体内容。对于数学概念的具体内容,大家在生活和学****过程中,或多或少都有过接触。因此,在引入新概念时,既要从人们接触过的具体内容引入,也要从数学内部问题提出,这是比较好的一种方法。
例如,正负数概念,一般是从有相反意义的量引入正数和负数,同时也要从正数减法运算产生矛盾,指出需要引入负数。又如无理数概念的教学可从无公度量的存在引入无理数,也要从正数开方产生矛盾来引入无理数。
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1、数学命题的意义和结构
(1)数学命题的意义
判断和概念一样,也是思维形式的一种;所不同的,判断是概念与概念的联合,它是肯定或者否定思维对象及其属性的思维形式。数学中的判断,通常称为命题,而命题的形式往往表现为语句或者符号的组合。例如:

△ABC∽△A¢B¢C¢
等等,都是数学命题。
判断可能正确,也可能错误,所以命题可真可假。在数学科学系统中,根据已知概念和真命题遵照逻辑规律运用正确逻辑推理方法可证明其真实性的命题叫做定理。很容易由某个定理推导出的定理,叫做这个定理的系或推论。证明命题要有已知真命题作为根据,所根据的已知真命题的证明,又要根据另一些已知真命题。这样一来,在真命题的序列中,必有某些真命题是不能从别的真命题推导出来的。这样的真命题叫做这个科学系统中的公理。作为数学中的公理的真实性只能是从人类亿万次实践中检验后而总结出来的结果。例如,在自然数的序数理论中是以下列四个真命题作为公理:
(i)“1”是自然数,它不后继于任何自然数。
(ii)任何自然数a,有且仅有一个后继自然数a+1。
(iii)除1外,任何自然数必后继且仅后继于一个自然数。
(iv)假定命题S对于自然数k为真,能证明对于k+1也真,且验证S对于“1”为真。则S对于任何自然数为真。
又如,欧几里得几何中的公理、实数理论中的顺序公理以及等量公理等等,都是数学中常常用来证明数学命题的公理。
在数学科学系统中作为公理的一组真命题,要求具有不矛盾性、独立性和完备性。但是为了照顾大家的接受能力,对于一些证明较复杂的真命题也作为公理,即不一定要求公理系统的独立性。
(2)数学命题的结构
数学命题的形式有各种各样,但是都可写成下面的标准形式:如果某对象有属性A则这个对象必有属性B。或者简略说:若A则B。在这个命题中A称为命题的条件,B称为命题的结论。所以,任何数学命题都有条件和结论两个组成部分。例如,“对顶角相等”这个命题可以写成“两个角如果是对顶角,则这两个角相等”。这个命题的条件是“两角是对顶角”,结论是“这两角是相等的”。
在“若A则B”这个形式中,A或B可能表示唯一的属性,也可能表示若干个属性的集合。例如命题:如果四边形的两组对边平行,且有一个角是直角,则这个四边形的两组对边相等,两对角线互相平分并且相等。这个命题的条件是
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“两组对边平行和四边形的一个角是直角”,结论是“两组对边相等和两对角线互相平分且相等”,条件和结论的属性都不是唯一的。
因为判断是肯定或否定思考对象具有某种属性,所以,我们又把原命题“若A则B”叫做肯定判断,在数学上又叫做肯定命题;而把“若A则不B”叫做否定判断,在数学上叫做原命题的否定命题。
2、命题的四种形式及其关系
从命题的结构可以看出,数学真命题是反映数学对象的属性之间的逻辑联系。在数学学科中,为了更全面地研究命题中条件和结论的逻辑联系,往往把一个命题的条件和结论换位,或者把条件和结论变为它们的否定,就可以得到三个新命题。例如,把原命题:“若A则B”的条件和结论换位得到新命题:“若B则A”,这个命题叫做原命题的逆命题。又如果把A,B分别变为它们的否定(读作非A)和(读作非B),则得到新命题:“若则”。这个命题叫做原命题的否命题。如果再把否命题的条件和结论换位得到的新命题:“若则”,这个命题叫做原命题的逆否命题。这个命题也可以看作命题“若B则A”的否命题,因此,它也叫做原命题的否逆命题。上述四种命题的形式及其关系,可用下图来表示:
图8-1
在数学论证中研究这四种命题之间的真假关系是十分重要的,我们可以从一些具体例子看出,成为互逆或互否关系的两个命题不一定有同真同假关系,例如,关于对顶角定理的四种命题形式是:
原命题:“如果两个角是对顶角,则这两个角相等。”
逆命题:“如果两个角相等,则这两个角是对顶角。”
否命题:“如果两个角不是对顶角,则这两个角不相等。”
逆否命题:“如果两个角不相等,则这两个角不是对顶角。”
显然,其中原命题与逆否命题都是真的,而逆命题与否命题都是假的。这里可见,互逆或互否的两个命题,不是同真同假的。
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可是,互逆或互否的两个命题也有同真同假的情况。例如原命题:“在同一三角形中,等边对等角”的逆命题、否命题和逆否命题都是真的。在什么条件下才出现四种命题同真同假呢?我们知道,当原命题的条件和结论分别作为内涵所得概念是同一关系时,就可断定四种形式的命题是同真同假的。
此外,还可以看出命题的四种形式中,具有逆否关系的两个命题是同真同假的。这种同真同假关系又叫做等效关系,这种等效关系可证明如下:
首先证明若原命题“若A则B”为真,则逆否命题“若则”必真。证明如下:
假设“若则”为假,则它的否定命题:“若则A”为真,已知“若A则B”为真。故由可推导出A,再推导出B,也就是说如果为真则B也真。与B同真是不可能的。因此,“若则”为假是不可能的。故“若则”必真。
同理可证,如果“若则”为真,则“若A则B”必真。
根据具有逆否关系两个命题的等效性,可知实质不同的命题只有原命题和逆命题两种。其他两种命题只是形式不同而已。
在数学教学中往往要根据上述命题的真假关系来研究问题。例如证明了一个命题是真实的把它作为定理,但是它的逆命题不一定真;因此对于它的逆命题,必须再作论证才知道是真还是假。如果逆命题是真的就可以得到原定理的逆定理;如果逆命题是假,则原定理没有逆定理。
具有逆否关系的两个命题的等效关系在数学论证中有时也用到。为了证明一个命题的真实性,可以转换为证明它的逆否命题的真实性。例如在平面几何中证明命题:“不在角的平分线上的点,到角的两边的距离不相等”,可以转换为证明它的逆否命题:“到角两边距离相等的点必在角的平分线上”。显然,后一定理的证明较为简便。
为了简明地表达命题中条件和结论的逻辑关系,在数学命题中的条件又分为充分条件、必要条件和充要条件。它们的意义是,如果命题“若A则B”为真,则称A为B的充分条件;如果“若B则A”为真,则称A为B的必要条件;如果“若A则B”与“若B则A”同真,则称A为B的充分和必要条件,或简称为充要条件。
用这条件来叙述数学命题往往很简便。例如平行线的性质定理和判定定理可以合并为一个定理:“平面上两直线平行的充要条件是这两直线与第三直线相交所成的同位角相等”。
上面讨论的逆命题,它的原命题的条件和结论的属性都是单一的。但是在数学中有些命题,它的条件和结论是若干个属性的集合。这样的命题的逆命题就不只一个。把原命题的条件和结论中任一部分属性换位,或者全部属性换位所得新命题都是原命题的逆命题。
例如原命题为:“在圆内,弦的垂直平分线必过圆心且平分这弦所对的弧”,它的逆命题有:
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“在圆内,过圆心且平分弦的直线必垂直这弦且平分神经衰弱所对的弧”;
“在圆内,平分弦和这弦所对弧的直线必过圆心且垂直这弦”;
“在圆内,过圆心且垂直弦的直线必平分这弦和这弦所对的弧”;
“在圆内,垂直弦且平分这弦所对弧的直线必过圆心且平分这弦”;
“在圆内,过圆心且平分弦所对弧的直线必平分垂直这弦”。
可以证明上述逆命题都是真的。但是,在数学中有些命题的逆命题,有真有假。因此,对于逆命题的真假问题必须逐一加以证明。

如果已知
,
那么我们说,p是q的充分条件,q是p的必要条件。
如果两三角形面积不相等,那么这两个三角形不全等。也就是说,两三角形面积相等是两三角形全等必须具备的条件。
,p是q的什么条件,q是p的什么条件:
(1)
(2)p:三角形的三条边相等;
q:三角形的一个角相等。
分析:可以根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断。
解:(1)由,即
,
知p是q的充分条件,q是p的必要条件。
(2)由,即
三角形的三条边相等Þ三角形的三个角相等,知p是q的充分条件,q是p的必要条件;
反过来,由,即
三角形的三个角相等Þ三角形的三条边相等,知q也是p的充分条件,q是p的必要条件。
(2)小题中,“三角形的三条边相等”既是“三角形的三个角相等”的充分条件,又是“三角形的三个角相等”的必要条件,我们就说“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充分必要条件,简称充要条件。
一般地,如果既有,又有,就记作
.
这时,p既是q的充分条件,又是q的必要条件,我们就说p是q的充分必要条件,简称充要条件。