双永磁同步电机滑模协调控制及实验研究 周林娜.pdf

该【双永磁同步电机滑模协调控制及实验研究 周林娜 】是由【住儿】上传分享，文档一共【10】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【双永磁同步电机滑模协调控制及实验研究 周林娜 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。第 39 卷 第 5 期广东工业大学学报Vol. 39  No. 5
2022 年 9 月JournalofGuangdongUniversityofTechnologySeptember 2022
 
doi: 
双永磁同步电机滑模协调控制及实验研究
周林娜,金南南,王    海,杨春雨
(中国矿业大学    信息与控制工程学院,江苏  徐州  221116)
摘要:针对现有的双永磁同步电机协调控制方法无法兼顾扰动抑制和协调控制精度的问题,研究具有不确定性和非
匹配扰动的双永磁同步电机系统协调控制。首先,基于系统不确定性和非匹配扰动,建立双电机系统的数学模型;
其次,将交叉耦合控制与传统PI控制相结合,得到协调控制模型;再次,提出一种基于干扰观测器的积分滑模方法
设计协调控制器,以有效抑制系统的非匹配扰动;最后,在基于dSPACE的多电机实验平台进行半实物仿真实验。
实验结果表明,该方法能有效提高系统在启动和负载突变时的转速同步和转矩同步性能。
关键词:协调控制;双永磁同步电机;干扰观测器;积分滑模;实验平台
中图分类号:TP273                   文献标志码:A                       文章编号:1007–7162(2022)05–0083–10
SlidingModeCoordinatedControlandExperimentalStudyofDual
PermanentMagnetSynchronousMotor
Zhou Lin-na, Jin Nan-nan, Wang Hai, Yang Chun-yu
(School of Information and Control Engineering, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China)
Abstract:Aiming at the problem that the existing coordinated control methods of dual permanent magnet
synchronous motor can not give consideration to disturbance suppression and coordinated control precision, the
coordinated control of dual permanent magnet synchronous motor system with uncertainty and unmatched
disturbance is studied. Firstly, the mathematical model of dual motor system is established based on system
uncertainty and unmatched disturbance. Secondly, the coordinated control model is obtained by combining cross
coupling control with traditional PI control. Thirdly, an integral sliding mode method based on disturbance observer
is proposed to design a coordination controller to suppress the unmatched disturbances effectively. Finally, a semi-
physical simulation is carried out on a multi-motor experimental platform based on dSPACE. The experimental
results show that the proposed method can effectively improve the speed synchronization and torque
synchronization performance of the system under startup and load mutation.
Keywords:coordination control; dual permanent magnet synchronous motor; disturbance observer; integral
sliding mode; experiment platform
 
 
永磁同步电机(Permanent Magnet Synchronous用。因此,研究双永磁同步电机系统协调控制具有广
Motor, PMSM)具有转矩惯量比高、温升低、功率因素阔的应用前景和重要学术价值。
高以及动态特性好等显著特点,在日常生活、工业生在双电机同步控制系统中保证两电机转速同步
产、农业生产、航空航天中得到了日益广泛的应用[1-4]。和转矩同步非常重要,倘若系统在运行中出现严重
随着工艺要求不断提高,往往需要增加系统中电机的转速差或转矩差,那么会造成断带、打滑甚至电机
的数量以提高控制性能。两台电机协调驱动可以增损坏[5-9]。针对双电机协调控制精度的问题,国内外学
加系统的灵活性、减小电机体积、减少能耗,在电动者将控制结构和先进的控制算法相结合以确保系统
汽车、输送带和风力发电等工业生产中得到广泛应的同步性。传统的控制结构主要有并行控制、主从控
 
 
收稿日期:2022-03-29
基金项目:国家自然科学基金资助项目(61873272);中国矿业大学研究生教育教学改革研究与实践资助项目(2019YJSJG017)
作者简介:周林娜(1979−),女,副教授,博士,主要研究方向为非线性控制系统
通信作者:杨春雨(1979−),男,教授,博士,博士生导师,主要研究方向为智能系统与先进控制,E-mail:******@
84广  东  工  业  大  学  学  报第 39 卷
制、交叉耦合控制、偏差耦合控制、虚拟主轴控制等;若受干扰两电机转子角度出现差异时,根据胡
控制算法有滑模控制、神经网络控制、自适应控制和克定律可得到如下表达式:
■∫
|t
预测控制等[10-15]。滑模变结构控制(Sliding Mode|ω−ωτ
■|F1=r1k(21)d
|∫0
Control, SMC)主要是利用控制量的高频切换使得被|t(1)
■|
F2=r2k(ω1−ω2)dτ
控对象沿着滑模面运动,对外界扰动抑制和系统不0
确定性体现出很强的鲁棒性,非常适用于PMSM系式中:k为皮带的劲度系数,它和皮带的材料、尺寸等
统,很多学者在单电机控制中引入滑模控制,而忽略相关,并且一般为常数;F1、F2为两电机之间的耦合
了在多电机系统中引入滑模控制以设计优化协调控作用力;r1、r2分别为驱动滚筒1、2的半径,通常取
==ωω
制器[16-20]。r1r2r;1和2分别为PMSM1和PMSM2的角速
为了提高双永磁同步电机驱动系统对于负载扰度;τ为时间积分因子。
动的鲁棒性,本文研究双电机协调控制问题。首先,记两电机各自承受的负载分别为Tl1和Tl2,结合
式(1)得两电机的实际负载T′、T′分别为
利用胡克定律刻画柔性联接的耦合特性,并考虑采■∫l1l2
|t
用轴电流为零的策略对系统带来的不确定性,初步|′=+2ω−ωτ
d■Tl1Tl1rk(12)d
∫0
|t(2)
建立了双电机系统数学模型。接着,引入交叉耦合控■|′=+2ω−ωτ
Tl2Tl2rk(21)d
0
制和PI算法且将系统扰动分为匹配扰动和非匹配扰
根据图2所示PMSM坐标矢量图得到永磁同步
动,建立了具有不确定性和非匹配扰动的双电机数
电机在(d-q)坐标系上的数学模型:
学模型。然后,针对系统的不确定性和非匹配扰动提■
|L
|did=−Rs+sqω+1
|idiqud
出一种基于干扰观测器的积分滑模控制方法。最后,■|dtLLL
|sdsdsd(3)
在基于的多电机平台上进行半实物仿真实|i
dSPACE|dqLsdRs11
■=−ωid−iq−ωφf+uq
验。实验结果表明,该方法能有效提高系统在启动和dtLsqLsqLsqLsq
式中:、分别为、轴电枢电感;为定子电阻;
负载突变时的转速同步和转矩同步性能。 LsdLsqdqRs
φf为永磁磁通;id、iq分别为d、q轴定子电流分量;ω为
1双永磁同步电机系统数学模型
转子角速度;ud、uq分别为d、q轴定子电压分量。
 
q
如图1所示为双永磁同步电机的物理结构示意Bβ
图,驱动滚筒之间通过皮带或齿轮中间连接器联接,d
两电机分别驱动两端的滚筒使得系统同步运行,通N
SαA
常应用于输送机、起重机及电梯等场合[21-24]。在该类
系统中,通常情况下两电机的转速处在同步协调状
态下,但是,在实际应用场景中系统会受到外界环境 C
的未知干扰,使得系统内部电流和转速出现差异,造图2PMSM坐标矢量图
成皮带或齿轮的张力波动过大,-phasediagramofPMSM
 
耦合作用力将会出现并且进一步引发两电机相互影本文电机为表贴式永磁同步电机,其电磁转矩
响,出现皮带或齿轮断裂,转矩差过大会导致电机的方程为
发热烧毁[25-28]。因此,双电机系统中保证转速同步和3(())
T=niφ+L−Li(4)
转矩平衡是协调控制的重要目标。e2pqfsdsqd
 式中:n为极对数。
F1F2p
本文选择id=0的控制策略不仅可以实现电机模
r1r2型的解耦,而且可以直接通过q轴电流来控制转矩,
从而减少计算量,提高控制效率。因此有
3
T=nφi(5)
e2pfq
PMSM1PMSM2
 根据力学平衡条件可得到PMSM的运动方程为
ω
图双永磁同步电机系统物理结构示意图JdB
1Te−Tl=+ω(6)

synchronousmotorsystem
 式中:Tl为负载转矩;J为转动惯量;B为摩擦系数。
第 5 期周林娜,等:双永磁同步电机滑模协调控制及实验研究85
将式(6)与式(3)、(5)相结合,得到图3所示控制结构,转速环和电流环都采用PI控制算
法。图中ASR1、ASR2分别为电机1、2的转速调节器,
ωn2n
d=pφ−p−Bω
fiqTl(7)、分别为电机、的轴电流调节器,
dtJJJACQR1ACQR212q
ACDR1、ACDR2分别电机1、2的d轴电流调节器,
因此,单台PMSM数学模型可以简化为′′=
Tl1和Tl2如式(2)所示,本文选择id0的策略,因此
■∗∗
|diqRs11i=i=0。K、K为耦合反馈调整系数,它们的数值
|=−−ωφ+δ+d1d212
|iq(f)uq
■dtLsqLsqLsq大小反映了两电机间的耦合程度,数值越大系统负
|(8)
|2φ
|dωnpfnpB
■=i−T−ω载变化或受到外界扰动时作出响应越快,但系统的
dtJqJlJ
稳定性会变差,根据文献[29]选择,一般选取K1=K2。
式中:δ表示忽略id带来的不确定性,满足不等式根据图3双电机系统交叉耦合控制结构,给定角
|δ|⩽δmax。速度和反馈的角速度作差经两电机转速调节器的输
结合式(1)、(2)和(8)得到双永磁同步电机数学模型:出,以及其输出与反馈的q轴电流差经q轴电流调节
■器的输出表达式如式(10)、(11)所示。
|di
|q1=−Rs1−1ωφ+δ+1
|iq11(f11)uq1■∫
|t
|dtLsq1Lsq1Lsq1|∗=ω∗−ω+ω∗−ωτ
||iq1kPS1(1)kIS1(1)d
|2∫■0
|ωφt
|d1np1f1np1B1|∫(10)
|=−+2ω−ωτ−ω|t
|iq1(Tl1rk(12)d)1|∗∗∗
|0■=ω−ω+ω−ωτ
■dtJ1J1J1iq2kPS2(2)kIS2(2)d
|0
|di
|q2=−Rs2−1ωφ+δ+1
|iq22(f22)uq2■∫
|dtLLL[()]t[()]
|sq2sq2sq2|=∗−−+∗−−τ+
||uq1kPQ1iq1K1iq1iq2kIQ1iq1K1iq1iq2dv1
|2∫|0
|ωnφf2nt|
|d2p2p22B2|∫
|=i−(T+rk(ω−ω)dτ)−ω|()t()
■q2l2212|∗∗
dtJ2J20J2|=−+−τ
|ud1kPD1id1id1kID1id1id1d
■|0
(9)|∫
 |[()]t[()]
|=∗+−+∗+−τ+
|uq2kPQ2iq2K2iq1iq2kIQ1iq1K2iq1iq2dv2
|0
|∫
2滑模协调控制系统设计|()t()
|∗∗
 ■=−+−τ
ud2kPD2id2id2kID2id2id2d
0
(11)

交叉耦合控制是一种耦合控制方式,其结构简式中:kPS1和kIS1为PMSM1中速度环调节器的PI参数;
单很适用于双电机控制系统,两电机的q轴电流输出kPS2和kIS2为PMSM2中速度环调节器的PI参数;kPQ1和
作差后反馈至电流环控制器前,若其中一台电机受kIQ1为PMSM1中q轴电流环调节器的PI参数;kPQ2和
到负载扰动整个系统会作出响应以抵抗扰动的影kIQ2为PMSM2中q轴电流调节器的PI参数;kPD1和
响。为保证双永磁同步电机系统的同步性能采用如kID1为PMSM1中d轴电流调节器PI参数;kPD2和kID2为
 
−
*
id1=0ud1
电流PIid1
*ACDR1Te1
*iq1
ω−uq1
速度PI电流PIPMSM1ω1
−ACQR1
ASR1T'l1iq1
K1
+
负载
−
K2iq2
T'l2
*ω
iq2+2
速度电流
PIPIPMSM2Te2
−ASR2ACQR2uq2
*id2
id2=0
电流PI
ud2
−ACDR2
 
图3双永磁同步电机系统交叉耦合控制结构

86广  东  工  业  大  学  学  报第 39 卷
∫
■t
PMSM2中d轴电流调节器的PI参数;i∗、i∗、i∗和i∗分|=ω∗−ωτ
d1d2q1q2|w1(1)d
|∫0
∗|t
别为两电机电流调节器的给定输入;ω为系统给定■∗
|=ω−ωτ
|w2(2)d(13)
|0∗
两电机的跟踪角速度;v1和v2为后文中双电机的电压|w˙1=ω−ω1
■∗
∗∗
==w˙2=ω−ω2
补偿输入。采用id1id20策略,通过调节ACDR1和
将式代入式中,整理化简具有不确
ACDR2的PI参数可以实现id1=id2=0。(10)~(13)(9)
定义新变量如式(12)和(13)所示。定性的双永磁同步电机系统的数学模型,写成状态
■∫
t()空间形式如式所示。
|=∗−−τ(14)
|m1[iq1K1iq1iq2]d
|∫0x˙=(A+∆A)x+Bu+Bd+Bd(14)
|t()1122
■|=∗+−τ
|m2[iq1K2iq1iq2]d=+
|0()(12)其中,gB1d1B2d2,d1与速度给定相关,是已知
|=∗−−
|m˙1iq1K1iq1iq2
|()的,d2与负载相关,是未知的,∆A表示系统的不确
■|∗
m=i+Ki−i
˙2q12q1q2定性。
■■
|kPQ1K1kIQ1kPQ1kIS1|
|aa000|
|12|
|Lsq1Lsq1Lsq1|
|B|
|a−10000a−a|
|733|
|J1|
|kKkkk|
|PQ22IQ2PQ2IS2|
|0a4a500|
+∆=|Lsq2Lsq2Lsq2|
AA||(15)
|−B2−|
|00a800a6a6|
|J|
|−−2|
|K1kPS1K1000kIS10|
||
|K20−K2−kPS2000kIS2|
||
■|0−1000000■|
000−10000
[][]
R+kKφ+kk+δnr2kδ
=−s1PQ11,=−f1PQ1PS11,=p1∆δ=10,=01000000
a1a2a3δN2∗8
Lsq1Lsq1J**********
+φ++δ
Rs2kPQ2K2f2kPQ2kPS22在传统的交叉耦合控制中,速度同步和转矩同
a4=−,a5=−
Lsq2Lsq2
22步并没有达到最优效果,因此本文提出如图4所示的
nrknφf1
=p2,=p1
a6a7交叉耦合控制和滑模控制结合的双电机协调控制
J2J1
[]
T结构。 
n2φ1/L0000000
=p2f2,=sq1
a8B/

[]
T
kPQ1kPS1∗np1np2∗∗滑模变结构对外界扰动、负载频繁变化的系统
g=ω−Tl10−Tl2kPS1ω0ω0
Lsq1J1J2具有较好的鲁棒性,能够克服系统的不确定性,当其
[]
T中一台电机受到干扰时通过滑模控制可以使系统迅
kPQ1kPS1∗
B1=000kPS1010,d1=ω
Lsq1速作出响应,选择合适的滑模面和控制律,合理设计
■n■T控制器增益可使系统满足到达条件和稳定性,并且
|−p1|
|0000000|
B=|J1|,d=[TT]T沿着滑模面滑动。但是系统状态轨迹运动到滑模面
2■|np2■|2l1l2
000−0000后滑向平衡点是不可严格控制的。由于符号函数的
J2
[]
TT存在系统一般沿滑模面做切换运动,这便会造成抖
x=iq1ω1iq2ω2m1m2w1w2,u=[v1v2]
振,在实际应用中需选取合适的控制律削弱抖
假设1 系统(14)的不确定性∆A是范数有界,并
振[30-34]。本文将非匹配干扰估计值考虑在内设计积分
可以写为
滑模控制器,控制器采用欧几里德范数替换传统的
∆A∗=M∆δN(16)
22符号函数有效抑制了抖振,利用H∞控制方法合理设
式中:∆δ满足∆δT∆δ⩽I,计控制增益和干扰抑制增益使系统满足H∞性能指
■■
/T标和稳定性,提高了双电机控制系统的鲁棒性 [35-39]。
|10000000|
=|Lq1|干扰观测器设计
M8∗2■|/■|    
00100000
Lq2结合式(14)将带有干扰的双永磁同步电机系统
第 5 期周林娜,等:双永磁同步电机滑模协调控制及实验研究87
{
=Λˆ+Λ++∆++
写为v˙(t)d2(t)B2((AA)x(t)Bu(t)B1d1(t))
{ˆ=−Λ+
x˙(t)=(A+∆A)x(t)+Bu(t)+Bd(t)+Bd(t)d2(t)v(t)B2x(t)
1122(17)
y=Cx(t)(18)
()
式中:†=T−1T,ˆ是干扰的估计值,是
式中:B2B2B2B2d2(t)v(t)
[]
−扰动观测器的中间状态变量,Λ是由设计者选取的赫
=c10c100000,∈+,∈+
C−c1Rc2Rˆ
0c20c20000尔维兹矩阵。为简单起见,假定d2(0)=0。定义干扰估
=−ˆ
受到文献[40]启示,干扰观测器设计为计误差d2(t)d2(t)d2(t),接下来证明d2(t)是有界的。
 
*−
id1=0ud1
电流PIid1
*ACDR1Te1
*−iq1
ωuq1
速度PI电流PIPMSM1ω1
−
ASR1ACQR1+iq1
T'l1
K1v1
+优化协调控
负载
制器
−v2
K2iq2
T'l2
*ω
iq2++2
速度PI电流PIPMSM2T
ue2
−ASR2ACQR2q2
*id2
id2=0
电流PI
ud2
−ACDR2
 
图4双永磁同步电机系统滑模协调控制结构

 
‖‖
n×n‖
‖⩽ϖ
引理1[40] 假设A∈R是赫尔维兹矩阵,那么,足d2(t),以上证明完成。
λmax(A)
t
存在一个标量c>0使得∥eAt∥⩽ce2。注释1 由引理2得到在干扰观测器式(1)中参数
ΛλΛ
那么,可以得到以下结果。矩阵的选择要满足赫尔维兹条件,max()应足
够大。 
引理2 对于给定的干扰观测器式(18),干扰估
    基于干扰观测器的积分滑模控制器设计
计误差d
(t)满足∥d
(t)∥⩽ϖ,其中ϖ是正标量。
22设计如下基于干扰观测器的积分滑模面:
证明 由式(18)得v˙(t)=Λdˆ(t)+ΛB+x˙(t)−Λd(t),
222σ=+−−
˙∫(t)B(x(t)x(0)
以及dˆ(t)=−Λd
(t)。因此,有t
22ˆ(21)
((A+∆A)x(s)+Bu1(s)+B1d1(s)+B2d2(s))ds)
˙˙
0
d2(t)=d2(t)+Λd2(t)(19)
∫式中:+=T−1T=−−ˆ是控
tB(BB)B,u1(t)Kx(t)Kdd2(t),K
ΛtΛ(t−s)˙
进一步d2(t)=ed2(0)+ed2(s)ds。因此,可
0制器增益,Kd是待确定的干扰抑制增益。
以得到注释2 与传统的积分滑模面不同,用干扰观测
‖∫‖
‖t‖器式(18)中的干扰估计dˆ(t)来主动抑制未知的干扰
∥
∥⩽∥Λt∥+‖Λ(t−s)˙‖⩽2
d2(t)ed2(0)‖ed2(s)ds‖
0d(t)。
∫2
t
ΛtΛ(t−s)˙若α和β已知,基于干扰观测器的积分滑模控制
∥e∥∥d2(0)∥+∥e∥∥d2(s)∥ds⩽
0
∫器可以设计为
λmax(Λ)tλΛ
tmax()+
cαe2+cβe(t−s)ds=u(t)=u1(t)+BB2uN(t)(22)
02
()BTB+Tσ(t)
λΛλΛ=−ρ+ϖ2,ρ>
max()2max()式中:uN(t)()0。
αt+βt−⩽∥T+Tσ∥
ce2ce21B2B(t)
λmax(Λ)
接下来,讨论滑模面σ(t)的可达性。
2
cα−cβ(20)定理1 在积分滑模控制器式(22)的作用下,系
λmax(Λ)
统满足滑模运动的可达性条件,即闭环系统的状态
ϖ=α−β2
通过定义cc,可以得到d2(t)满轨迹将在有限时间内到达滑模面σ(t)。
λmax(Λ)
88广  东  工  业  大  学  学  报第 39 卷
■■
证明 定义如下的李雅普诺夫函数为V(t)=|B+BBTB+Tσ(t)|
˙=σT|−ρ+ϖ‖22‖++
|=
1V(t)(t)■|()‖‖BB2d2(t)■|
σT(t)σ(t)。 σ(t)对时间的导数为‖BTB+Tσ(t)‖
2d
++
+TTT
−(ρ+ϖ)∥BBσ(t)∥+σ(t)BB2d2(t)⩽
σ˙(t)=B((A+∆A)x(t)+Bu(t)+B1d1(t)+B2d2(t)−2
−ρ∥T+Tσ∥(24)
ˆB2B(t)
((A+∆A)x(t)+Bu1(t)+B1d1(t)+B2d2(t)))=
+
由V(t)表达式得V˙(t)=σT(t)σ˙(t)⩽0,因此,系统
u(t)−u1(t)+BB2d2(t)=
+
状态轨迹能够在规定的时间内到达滑模面σ(t)。
BB2(uN(t)+d2(t))
(23)综上所述,基于干扰观测器的的积分滑模控制
于是框图如图5所示。
 
d2(t)
u(t)·
uN(t)x(t)=(A+ΔA)x(t)+Bu(t)+B1d1(t)+B2d2(t)y(t)
++
BB2{y=Cx(t)
双永磁同步电机系统
+u1(t)
BTB+Tσ(t)
−(ρ+ϖ)2K
T+T
||B2Bσ(t)||−−
K积分滑模
d控制器
σ(t)^
d2(t)
v·(t)^
v(t)Λd2(t)
∫^
++ΛB((A+ΔA)x(t)+Bu(t)+Bd(t))
−211
^
ΛBx(t)
2干扰观测器
B+(x(t)−x(0)−滑模面
t^
∫0((A+ΔA)x(s)+Bu1(s)+B1d1(s)+B2d2(s))ds
 
图5基于干扰观测器的积分滑模控制框架

 
接下来,用等效控制方法确定滑模运动方程,并 x˙(t)=(A+∆A−BK)x(t)+B
2d2(t)(27)
进行滑动运动的稳定性分析。
根据H∞控制理论可知,设计的控制器增益K应
求解方程σ˙(t)=0得到等效控制率为ueq(t)=
N该有效抑制干扰d2(t)对输出y(t)影响,即对于给定的
−
。将eq=++eq代入式状态方
d2(t)u(t)u1(t)BBduN(t)(17)H∞性能指标γ满足以下不等式:
∫∞∫∞
程并忽略d1(t)对系统的影响得到以下的滑模面方程222
∥y(t)∥dt⩽γ∥d2(t)∥dt(28)
eq00
x˙(t)=(A+∆A)x(t)+Bu(t)+B2d2(t)=
(+)
+∆++eq+=定理1 给定H∞性能指标γ,如果存在一个三角矩
(AA)x(t)Bu1(t)BB2uN(t)B2d2(t)
(A+∆A−BK)x(t)−BKdˆ(t)−阵P和一个矩阵F满足下列线性不等式
d2■■
BB+Bd
(t)+Bd(t)(25)|PTAT−FTB+AP|
2222|
TTTT|
|TTB2PCPN|
|−BF+µP+MM|
接着,使用H∞控制理论来设计控制器增益和抗||<0
|∗−γ2I00|
+■|■|
+⊥⊥⊥∗∗−I0
干扰增益Kd。注意到BB=In−BB,其中B∈
∗∗∗−I
Rn×(n−m)是矩阵BT的零空间,即BTB⊥=0。可设计控制(29)
+=−1
器增益Kd=BB2。于是,可以得到那么,控制器增益为KFP闭环系统式(27)是
+ˆ
稳定的并且满足H∞性能指标式(28)。
x˙(t)=(A+∆A−BK)x(t)−BBB2(d2(t)+d2(t))+B2d2(t)=
⊥⊥+证明 选择李雅普诺夫函数为
(A+∆A−BK)x(t)−(In−BB)B2d2(t)+B2d2(t)=
⊥⊥+T−1
(A+∆A−BK)x(t)+BBB2d2(t)(26)Vx(t)=x(t)Px(t)(30)
⊥⊥+
定义B
2=BBB2,滑模运动方程可重新写为引理3 对于任意具有适当维数的常数矩阵
第 5 期周林娜,等:双永磁同步电机滑模协调控制及实验研究89
√
Q1和Q2,有如下不等式成立:λ−1µ
max(P)−t
∥x(t)∥<e2∥x(0)∥(39)
T+T⩽T+T−1
Q1Q2Q2Q1Q1Q1Q2Q2(31)λmin(P)
根据引理3可以得到:
这表明系统式(27)是指数稳定的。从不等式(36)
∆T−1+−T∆=T∆δTT−1+−T∆δ⩽
APPANMPPMN可知
NT∆δT∆δN+P−TMMTP−1⩽NTN+P−TMMTP−1
+T−γ2T<
(32)Vx(t)y(t)y(t)d2(t)d2(t)0(40)
于是,可以得到以下不等式成立:对于x(0)=0,在不等式(40)两边积分并由y(t)=
+T−γ