2.1.2 函数的表示方法1.doc

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【学****要求】
、图象法、解析法表示一些详细的函数;
;
.
【学法指导】
学****函数的表示方法,不仅是研究函数的性质和应用的需要,,感受函数和生活实际联络的亲密性,通过求函数解析式加深对数学思想方法的理解,进步分析问题、解决问题的才能.
填一填:知识要点、记下疑难点
:通过列出自变量和对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法.
:假设图形F是函数y=f(x)的图象,那么图象上的任一点的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x),反之,满足函数关系y=f(x)的点(x,y)“图形"表示函数的方法叫做图象法.
:假设在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)是用代数式(或解析式)来表达的,这种方法叫做解析法.
研一研:问题探究、课堂更高效
[问题情境] 语言是沟通人和人之间的联络的,,简体中文中的“生日快乐!”用繁体中文为:生日快樂!英文为:HappyBirthday!…,那么对于函数,又有什么不同的表示方法呢?
探究点一 函数的表示方法
问题1 在初中学****的函数有哪几种常用的表示法?
答: 解析法、图象法、列表法.
问题2 列表法是如何定义的?
答: 通过列出自变量和对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法.
问题3 下面是我国解放后五次人口普查数据表,这张表中,所表示的函数定义域、值域各是什么?
年份
1953
1964
1982
1990
2000
总人口数(亿)

6。9



答: 定义域为{1953,1964,1982,1990,2000},值域为{,6。9,,11。3,}.
问题4 图象法是如何定义的?
答: 假设图形F是函数y=f(x)的图象,那么图象上的任一点的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x),
反之,满足函数关系y=f(x)的点(x,y)“图形”表示函数的方法叫做图象法.
问题5 我们在作函数y=2x+1的图象时,先列表,,而y=2x+?
答:假设在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)是用代数式(或解析式)来表达的,这种方法叫做解析法.(也称为公式法.)
问题6 三种表示函数的方法各有哪些优缺点?
答:(1):,并且适宜于进展理论分析和推导计算;缺点:在求对应值时,有时要做较复杂的计算。
(2):对于表中自变量的每一个值,可以不通过计算,直接把函数值找到,查询时很方便;缺点:表中不能把所有的自变量和函数对应值全部列出,而且从表中看不出变量间的对应规律.
(3):形象直观,可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质,把抽象的函数概念形象化;缺点:从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值.
例1某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})=f(x).
解: 这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}.用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.
用列表法可将函数y=f(x)表示为
笔记本数x
1
2
3
4
5
钱数y
5
10
15
20
25
用图象法可将函数y=f(x)表示为以以下图.
小结:本例题的两个变量之间的函数关系用解析法、列表法、图象法都能表示,但并不是所有的函数都能用三种方法表示,能用解析法表示的一般也能用另两种方法表示,能用列表法或图象法表示的不一定能用解析法表示,也就是说有些函数的关系找不到一个等式来表示.
跟踪训练1 用列表法画出函数y=的图象.
解:在这个函数的定义域内,从0开场适当地取假设干个x的值:0,,1,1。5,2,2。5,3,,4,,5,…。
算出对应的函数值,列出函数的对应值表(准确到0。1):
x
0

1

2

3
3。5
4
4。5
5
…
y
0
0。7
1




1。9
2
2。1
2。2
…
以这11个有序数对(x,y)为坐标,在直角坐标系中画出所对应的11个点,由这些点连成的一条光滑曲线就是函数y=的图象.
例2:设x是任意一个实数,y是不超过x的最大整数,试问x和y之间是否是函数关系?假设是,画出这个函数的图象.
解:对每一个实数x,都可以写成等式:x=y+α,其中y是整数,α是一个小于1的非负数,
例如:6。48=6+,6=6+0,-=-2+0。65,-12。52=-13+0。48,…,
由此可以看到,对于任一个实数x,都有唯一确定的y值和它对应,所以说x和y之间是函数关系.
这个“不超过x的最大整数”所确定的函数记为y=[x].这个函数的定义域是实数集R,值域是整数集Z。
例如,当x=6时,y=[6]=6;当x=π时,y=[π]=3;当x=-,y=[-]=-2.
函数的图象如以以下图所示.
小结: 函数的图象不仅可以是一段光滑的曲线,还可以是假设干条线段,甚至是一些孤立的点.
跟踪训练2 函数y=f(n),满足f(0)=1,且f(n)=nf(n-1),n∈N+,求f(1),f(2),f(3),f(4),f(5).
解: 因为f(0)=1,
所以f(1)=1·f(1-1)=1·f(0)=1,
f(2)=2·f(2-1)=2·f(1)=2,
f(3)=3·f(3-1)=3·f(2)=6,
f(4)=4·f(4-1)=4·f(3)=24,
f(5)=5·f(5-1)=5·f(4)=120。
探究点二 换元法求函数的解析式
问题 函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式通常用什么方法?这种方法的详细做法是怎样的?
答: 通常用换元法.
即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),即求出了f(x).
例3 f(x2-1)=x4-x2+1,求f(x).
解: 因为f(x2-1)=x4-x2+1=(x2-1)2+(x2-1)+1,
所以f(x)=x2+x+1(x≥-1).
小结: (1)此法是把所给函数的解析式,通过配方、凑项等方法使之变形为关于“自变量”的表示式,然后以x代替“自变量”,即得所求函数解析式.
(2)f(g(x))是关于x的函数,求f(x)的解析式,通常令g(x)=t,由此能解出x=h(t),将x=h(t)代入f(g(x))中,求得f(t)的解析式,再用x交换t,便得f(x)的解析式.
跟踪训练3 f()=3-x,求f(x)的解析式.
解: 令=t,那么t≥0,且x=t2+1,
所以f(t)=3-(t2+1)=2-t2,
即f(x)=2-x2(x≥0).
练一练:当堂检测、目的达成落实处
1。函数y=f(x)的图象和一直线x=a的交点个数为( )


解析: 由函数的定义,知对于定义域内的任意一个x,都有唯一一个f(x)值和之对应.
所以,当a不在函数定义域内时,直线x=a和函数y=f(x)的图象没有交点,所以选C。
(1+)=-1,那么f(x)=__________。
解析: 设1+=t(t≠1),那么x=,
∴f(t)=-1=t-2(t≠1).
∴f(x)=x-2(x≠1).
(x+1)=x2-3x+2,求f(x).
解: 因为f(x+1)=x2-3x+2
=(x+1)2-5x+1=(x+1)2-5(x+1)+6,
所以f(x)=x2-5x+6.
课堂小结:

一般地,作函数图象主要有三步:列表、描点、,再在定义域内化简函数解析式,再列表描出图象,并在画图象的同时注意一些关键点,如和坐标轴的交点、分段函数的区间端点等.
2。如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应法那么f的本质和特点(对应法那么就是对自变量进展对应处理的操作方法,和用什么字母表示无关),应用适当的方法,:代入法、待定系数法、换元法、解方程组法.