2.3 数学归纳法4.doc

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江苏省板浦高级中学李忠贵
一、【教材分析】
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修2—2(苏教版)》第二章第三节《2。3数学归纳法》。在之前的学****中,我们已经用不完全归纳法得出了许多结论,例如某些数列的通项公式,但它们的正确性还有待证明。因此,数学归纳法的学****是在合情推理的根底上,对归纳出来的和正整数有关的命题进展科学的证明,它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。通过把猜测和证明结合起来,让学生认识数学的本质,把握数学的思维。本节课是数学归纳法的第一课时,主要让学生理解数学归纳法的原理,并可以用数学归纳法解决一些简单的和正整数有关的问题。
二、【学情分析】
我校的学生根底较好,:一是从“传球原理”启发得到“数学方法”的过程有困难;二是解题中如何正确使用数学归纳法,尤其是第二步中如何使用递推关系,可能出现问题。
三、【策略分析】
本节课中老师引导学生形成积极主动,勇于探究的学****精神,和合作探究的学****方式;注重进步学生的数学思维才能;体验从“实际生活—理论-实际应用”的过程;采用“老师引导-学生探究
”相结合的教学方法,在教和学的和谐统一中,表达数学的价值,注重信息技术和数学课程的合理整合.
四、【教学目的】
(1)知识和技能目的:
①理解数学归纳法的原理和本质,掌握数学归纳法证题的两个步骤;
②会用数学归纳法证明某些简单的和正整数有关的命题。
(2)过程和方法目的:
努力创设愉悦的课堂气氛,使学生处于积极考虑,大胆质疑的气氛中,进步学生学****兴趣和课堂效率,让学生经历知识的构建过程,体会归纳递推的数学思想。
(3)情感态度和价值观目的:
通过本节课的教学,使学生领悟数学归纳法的思想,由生活实例,激发学生学****的热情,进步学生学****的兴趣,培养学生大胆猜测,小心求证,和发现问题、提出问题,解决问题的数学才能。
五、【教学重难点】
教学重点:借助详细实例理解数学归纳法的根本思想,掌握它的根本步骤,能纯熟运用它证明一些简单的和正整数n有关的数学命题;
教学难点:数学归纳法中递推关系的应用.
六、【教学方法和工具】
教法指导:本节课采用的教学方法是“启、思、演、练、结"五字教学法,即:以详细的例子引入课题,启发学生想去理解归纳法;通过提出问题、创设情景,引导学生积极考虑;借
助电脑的动画演示,进步直观性和兴趣性,延长学生有意注意的时间;教学中,及时精选一些练****帮助学生稳固和强化知识,而“结”那么包含两方面的内容(1)授课中老师的及时小结和点拨(2)听课时学生的自我小结和稳固。
学法指导:(1)学****要求:①课前预****教材中有关内容;②听课时积极考虑大胆质疑;③课后及时完成课外作业。(2)指导措施:通过设置问题情景,激发学生大胆考虑;由详细的事例吸引学生注意,通过直观模型演示,化抽象为详细,打破教学难点;借助电脑声像效果,营造愉悦课堂气氛,进步学****兴趣.
教学手段:多媒体辅助课堂教学。
七、【教学过程】
(一)创设问题情境,启动学生思维(说明引入数学归纳法的必要性)
很快乐能有时机和同学们讨论数学,请看大屏;
这个猜测正确吗?如何证明呢?前面学****的分析法、综合法、反证法可以吗、不能,由于这个命题和正整数有关,逐个验证行不行?
人的生命是有限的,而正整数是无限的,假设逐个验证,永远不可能做完。
【设计意图:】为了引入本节课的问题,首先复****之前学过的知识,,发现其结果不一定正确,必须进展严格证明,说明引入数学归纳法的必要性
(二)搜索生活实例,激发学生兴趣

回忆以前的学****经历,无限的数学问题如何解决的?
例如我们判断线面垂直,假设选择定义,需证明这条直线和平面内的所有直线垂直(这也是无限的证明问题,无法完成)当时我们是如何解决的?只需两步,受此启发,刚刚问题中的无限的验证也可以用有限步完成。
过渡语言:其实我们生活也有类似的经历,让我们从生活中汲取灵感.
,激发学生兴趣
(1)现有一个球,另外有50个人站成一列,保证所有人在原位置都拿到一次球,你有什么样的方案?
方案一:第一步:我抱着球走到第一个人面前,让他拿一下,然后他将球又还给我;第二步我抱着球走到第二个人面前…,共50步完成;(100个人就分100步完成;无数个人就分100步完成)
方案二:传球形式,
传球游戏:每列人在原位置拿到一次球…
保证每个人都拿到一次球需具备哪些条件?请同学们自由讨论!学生活动,老师下来巡视,并和学生交流,确定答复以下问题的目的人群
大屏幕上呈现“所有都拿到一次球"的两个重要条件
(1)第一个人拿到球;(2)假设第k个人拿到球,那么第k+1个人一定拿到球
师:(结合图片归纳出两个条件)假设第一个人没有拿到球,所有人会拿到球吗?生:不会
师:那么要保证所有人拿到球,首先必须保证(让学生接)
生:第一个人拿到球
师:假设是只满足第一个人拿到球,能保证每个人都拿到一次球吗?
生:不能
师:那么要保证每个人都拿到个人都拿到一次球球,还要具备什么条件呢?
换句话说,假设某个人拿到球,不能保证下一个人也拿到球,所有人都拿到一次球吗?生:不能
师:那么要保证所有人都拿到球,还必须保证:(让学生接)
生:假设是某个人拿到球,要能保证下个人也拿到球!
师:这里某个人是第几个?可以是任意一个
师:那么,一般地,“任意一个"可以用字母来表示吗?生:可以
师:好,假设这里任意一个用字母k来表示,那么第二个条件如何用数学语言来描绘呢?
生:
师:很好,通过同学们的自主探究,积极参和,
我们探究出了多米诺骨牌全部倒下去的两个重要条件
(1)第一个人拿到球;(2)假设第k个人拿到球,那么第k+1个人一定拿到球
师:这两个条件能不能省略一个?
生:第一个条件保证了拿到球的可能性(根底);第二条件保证了拿到球的传递(递推)
【设计意图:】通过亲密相关的实验,旨在引导学生从不同角度,比照感悟数学原理,实现学生思维由隐形到显性,由模糊到明晰,由片面到完好的过渡。
(三)立足生活,点燃思维的火花
?多米诺骨牌游戏;放鞭炮;烽火台传递敌情
。
3。请你归纳“一个和正整数n有关的命题证明方法”
一般地,证明一个和正整数n有关的命题,可以按照以下步骤进展:
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值()时命题成立;
(2)(归纳递推)假设时命题成立,证明当时
命题也成立。
完成这两个步骤后,就可以断定命题对从开场的所有正整数都成立。
上述这种证明方法叫做数学归纳法公理
(四)师生合作,形成概念,文化浸透
?它几个部分组成?第一步及第二步各有什么作用?和骨牌原理类似,第一步为命题成立提供了一个根底,所以称之为归纳奠基;第二步的作用是什么?和骨牌原理类似,第二保证了命题成立的递推性,即将正确永远传递下去,所以称之为归纳递推
?两种有何关系?不是,归纳法是一种合情推理,不能用于证明,但有利于发现猜测;而数学归纳法,只能用于证明,,往往是用归纳法得到猜测,再用数学归纳法进展证明。
3。“数学归纳法”名称的由来
意大利数学家毛罗利科为人类历史上使用数学归纳法证明的第一人(1575年),之后也有很多数学家使用这种方法去证明,但一直没有确定、统一的名称,直到1838年英国数学家德摩根在他的文章中无意把这种方法称为
“数学归纳法”,,单齐克,波利亚等人声称,“数学归纳法"的使用是误用,只有“递归推理”才能承受。
(五)讲练结合,稳固概念
用数学归纳法证明引例,老师引导学生总结:
1。数学归纳法证明问题的流程:两步骤一结论
(1)找准起点,奠基要稳;(2)用上假设,递推才真;(3)写明结论,才算完好
2。哪一步是证明的主题,证明当n=k+1时命题成立是证明的主体,力求详细,不可省略,注意两个凑(1)凑出n=k时的形式(这样才好利用假设);(1)凑出目的(n=k+1时的形式)
【练****用数学归纳法证明
【问题二:】在证明过程中,发现有的同学是如下这样证明的:他的做法对吗?
证明:(1)当时,左边=1,右边=1,那么等式成立;
(2)假设时,等式成立,即,
那么当时,有
即当时,等式也成立,,等式成立。
错因:第k+1步的结论不是以第k步为条件得出的,证明过程中没有用到第二步的归纳递推,因此得到的结果未必正确。
改正:
时,有
即当时,等式也成立。
【设计意图:】,老师将一道题目用数学归纳法完好的证明出来;然后再让学生当“小老师",寻找另外一种证明过程中的错误,通过纠错这一思维过程,澄清了学生对知识点的模糊认识,“先正后反"有助于学生全面认识数学归纳法。

例3用数学归纳法证明:
证明:(1)当时,左边:,右边:
左边=右边,等式成立。
(2)假设当时等式成立,即
那么当时,
=右边
即当时,等式也成立等式成立。
【设计意图:】让学生自己尝试用数学归纳法证明之前学****中给出的公式——正整数的平方和公式,加深了学生对已学知识的认识.