2.3.1 双曲线的标准方程3.doc

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一、教材分析
《双曲线的标准方程》是《选修2-1》第2章§,也是三种圆锥曲线方程之一。圆锥曲线的教学突出表达理解析法的根本思想:先将形的问题转化成数来研究,再将数的研究借助形来提醒,它是培养学生数形结合思想的精典素材,也是解析几何的根底,其重要性不言而喻。《双曲线的标准方程》和《椭圆的标准方程》相似,因此可以采用类比的方法学****先复****椭圆有关知识,根据它们的相似性,建构新的数学认知。江苏高考对椭圆知识点的要求是B级,对双曲线的要求是A级,要求的等级有明显的差异,因此教学的重点是双曲线的定义、标准方程和简单的应用,而双曲线标准方程的推导过程是否让学生掌握,要视不同学生的实际情况而定.《双曲线的标准方程》后续内容是《抛物线的标准方程》、《曲线和方程》,因此本节课承上启下.
二、学情分析
知识方面,学生之前学****过圆、椭圆,有一定的知识储藏,可以建立适当的坐标系求轨迹方程,并通过椭圆标准方程的推导初步掌握了含有根式方程化简的一般方法,但计算才能仍需加强.
情感方面,双曲线在日常生活、消费和科学技术中有着广泛的应用,多数学生通过直观感受和动手操作对本节课的学****有浓重的兴趣,但是仍有部分根底相对薄弱的学生对数学有一定的畏惧心理,缺乏学****的主动性,需要老师引导鼓励。
才能方面,本节课面对的是高中二年级的学生,他们多数已经具备一定的观察、归纳、概括、分析问题、解决问题的才能,也具备一定的自学才能,但合作交流意识和知识的类比迁移才能还有待于进一步进步。
三、教学目的:
知识和技能:掌握双曲线的定义、标准方程和推导过程,能根据条件求双曲线的标准方程
过程和方法:经历双曲线和标准方程的获得过程,培养学生观察、考虑、分析和解决问题的才能,体会分类讨论、类比的数学思想
情感态度和价值观:感受数学的对称美和简洁美,激发学生的学****兴趣
四、教学重点、难点
重点:双曲线的定义及标准方程。
难点:正确运用双曲线的定义推导双曲线的标准方程
五、教法和学法
(1)类比的学****方法:类比椭圆的定义及标准方程从而得到双曲线的定义及标准方程;
(2)实验法:结合拉链实验,让学生动手操作,体验双曲线的形成过程,培养学生观察、分析、概括的才能和逻辑思维才能;
(3)多媒体教学辅助法:运用多媒体展示几个外轮廓是双曲线的花瓶、建筑物图片、双曲线的生成动画、椭圆和双曲线的类比表格等,有效激发学生的学****兴趣,使学消费生强烈的学****欲望
;
(4)合作探究法:学生独立考虑无法解决的时候老师组织学生分组讨论,合作交流;
(5)讲练结合:老师对本节的重点内容和疑难问题精讲后,让学生进展有针对性的练****通过讲解和练****使学生掌握知识,开展思维才能,使学生从学懂到学会,实现才能转化。
六、教具准备
投影仪、电脑、拉链
教学过程
,目的导入
展示几个外轮廓是双曲线的花瓶、建筑物图片,和学生们一起感受某种曲线美。在学生享受美的同时,提醒课题,然后出示教学目的,组织学生阅读。
【设计意图】情景“外轮廓是双曲线的花瓶、建筑物”贴近学生的生活体验,优美的曲线能引发学生对美妙事物的追求,激发兴趣和热情,教学中学生参和的热情程度直接影响教学效果。出示教学目的使学生明确学****任务,有的放矢。
复****引导,建构新知
,初步引出双曲线的定义
问题1:椭圆的定义是什么?
学生答复:平面内到两个定点的间隔之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆;这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点之间的间隔叫做这个椭圆的焦距。
老师继续追问椭圆的标准方程及、、满足的关系式。
问题2:将椭圆定义中的“和”改为“差”得到点的轨迹是什么?
学生通过提早预****知道点的轨迹是双曲线,和椭圆一样,两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点之间的间隔叫做双曲线的焦距。
【设计意图】将“和"变为“差",引入新课。双曲线和椭圆都是圆锥曲线,它们在定义上相似决定了在方程、性质等方面的相似,因此温故知新,通过回忆椭圆相关知识为双曲线的学****做好铺垫。
,感性认知双曲线的定义
F1
F2
P
实验:取一条拉链,两边长度相等,现将拉链的一边截去一段,将两边的两端点固定。拉链的咬合处放一支粉笔,观察拉动拉链过程中粉笔留下的轨迹,引发学生考虑:
(1)在这个过程中哪些量是定量?
(2)动点在运动过程中满足什么条件?
(3)这个常数和的关系是什么?
(4)假设拉链上被固定的两点互换,那么出现什么情况?
学生动手操作,演示拉链生成双曲线的过程。
观察考虑后,学生答复:、之间间隔定值,令其为,定值,令其为,将截去的一段和比较,可得出
【设计意图】拉链实验由学生完成,激发学生学****兴趣,培养学生动手操作才能,和观察、考虑、分析、归纳的才能。
,深化解读双曲线的定义
利用多媒体演示双曲线轨迹的形成过程
问题1:假设拉链上被固定的两点互换,那么出现什么情况?
学生答复:
问题2:点和定点的间隔之差是还是?
学生答复:都可以.
问题3:如何将和两个式子用一个式子来表示?
学生答复:在的外面加上绝对值,即。
此时双曲线的定义完好生成:平面内到两个定点、的间隔的差的绝对值等于常数的点的轨迹。板书定义,强调去掉绝对值表示的只是一支。
【设计意图】借助多媒体演示双曲线轨迹的形成过程,更直观明晰学生易于承受,进步学生学****热情的同时也进步学****效率。
2。4变化参数之间的大小关系,多角度理解双曲线的定义
问题1:当时,此时动点的轨迹是什么?
学生答复:当时,动点的轨迹是以为端点,方向指向外侧的两条射线。
问题2:当时,此时动点的轨迹是什么?
学生答复:当时,动点的轨迹不存在。
问题3:当时,此时动点的轨迹是什么?
学生答复:当时,动点的轨迹为线段的中垂线。
【设计意图】常数和的大小关系不同动点的轨迹也不同,引导学生类比椭圆,对双曲线中和的大小关系分类讨论,得出不同关系下动点的轨迹。假设学生独立考虑之后仍然无法解决,可以组织学生分组讨论、合作探究.
,推导双曲线的标准方程
问题:如何求双曲线的标准方程?类比椭圆标准方程的求解步骤:建系、设点、列式、化简
提早下发学案让学生动手去推导。学生已有推导椭圆标准方程的根底,可以顺利地建立坐标系,设出动点坐标,列出方程,但是由于这是含有两个根式的等式的化简,对数式变形才能要求较高,是本节课的难点。从学生导学案上反响出的情况看,部分学生不能完成双曲线标准方程的推导过程,主要障碍有这样几点:(1)对等式直接平方,造成运算量太大,计算不下去;(2)上等式去掉绝对值符号后,得,移项:,进展平方,在此环节中不能严格按照有关数式的运算法那么进展运算;(3)存在畏难情绪,,课堂上让一名学生板演讲解,最后老师分析点评,指出计算过程中的关键点,让学生了
获得正确的求解过程。
焦点在轴上双曲线的标准方程推导出来后,老师追问:焦点在轴上的双曲线的标准方程是什么?让学生大胆猜测,培养学生的直觉思维才能,鼓励学有余力的学生课后自行推导、验证,互相交流。
【设计意图】类比椭圆标准方程的推导过程来推导双曲线的标准方程,培养学生运算才能、知识迁移才能;通过学生板演讲解培养学生语言表述、观点概括的才能.

让学生观察、:当焦点在轴上时,项的系数为正;当焦点在轴上时,项的系数为正,然后即时训练,落实新知。
,写出焦点坐标
(1)(2)
(3)(4)。
【设计意图】通过两种形式的比照,加深学生对方程的理解和记忆,借助即时训练,固化新知。前三题让学生学会利用双曲线的标准方程求焦点坐标,并和第四题椭圆焦点坐标求法进展区别,再次进展二者的比照。
,整合知识模块
 
 椭圆
 双曲线
定义
方程
 
 
焦点
a,b,c的关系
 
,但和之间无大小关系,
组织学生认真观察、分析、概括,然后个别口答,其他学生补充说明,总结出椭圆和双曲线的一样点和不同点。
 
 椭圆
 双曲线
定义
方程
 
 
一样点
构造相似‚,大于零
不同点
双曲线方程“—”号连接,椭圆方程“+”号连接
‚双曲线中,大小不确定
椭圆中,最大
ƒ判断焦点位置:双曲线看系数正负,椭圆看分母大小
【设计意图】用表格直观呈现新旧知识的区别和联络,建构明晰的知识网络,在比照、比较中深化学生对知识的理解、记忆,防止混淆。
3。新知运用,稳固提升
,,动点满足,求动点的轨迹方程。(学生展示学案并讲解,老师强调书写,标准答题过程)
变式1、去掉绝对值,求双曲线的标准方程.(学生在例题答案的根底上修改,节约时间)
变式2、是双曲线上一点满足,求的值.(学生口答)
【设计意图】例1是书本例题的改动,不仅考察学生对定义的理解,还考察待定系数法的掌握情况;变式1让学生深化体会双曲线定义中关键词“绝对值"存在的必要性,感受数学的理性和严谨性;变式2强化双曲线定义的应用。
例2。求适宜以下条件的双曲线的标准方程
(1),,焦点在轴;(比较简单,老师直接出示正确结果,再次强调和椭圆方程区别)
(2),经过点,焦点在轴.(学生展示学案并讲解,老师点拨)
变式:去掉焦点在轴呢?(学生口答)
追踪训练、求适宜以下条件的双曲线的标准方程:
;(2)一个焦点为,且过点;
(追踪训练由两名学生板演其他学生在座位上完成,老师巡视,交流指导)
【设计意图】,一定要让学生明白计算的方式方法:先定位置,再定量,未知焦点位置时分类讨论,从而稳固知识、获得方法、提升思想。
:引导学生从数学理论知识、数学思想方法两方面进总结
(1)双曲线的定义
(2)双曲线的标准方程(注意二种形式的异同);
(3)双曲线标准方程的求解:待定系数法、定义法
(4)数学思想方法:类比、数形结合、分类讨论
【设计意图】小结本节课内容,使学生既掌握知识又掌握方法,培养学生的学****才能
:求适宜以下条件的双曲线的标准方程
(1),
(2)和双曲线有一样焦点,且过点
【设计意图】当堂练****评价本节课学****成果,检测目的达成度,分析缺乏,及时补救.