2.3.1 平面向量基本定理10.doc

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教学过程
一、问题情境
1。情境:火箭在升空的某一时刻,速度可以分解成竖直向上和程度向前的两个分速度(如以以下图所示)。在力的分解的平行四边形法那么中,我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和.
(图1)
:平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示?
二、数学建构
设e1,e2是平面内两个不共线的向量。
活动1 请同学们作出向量=2。5e1+。[4]
活动2 a是平面内的任一向量,能否通过作图用e1,e2表示呢?[5]
如图2,在平面内任取一点O,作=e1,=e2,=,交直线OA于M;过点C作平行于OA的直线,交直线OB于N,那么有且只有一对实数λ1,λ2,使得=λ1e1,==+,所以a=λ1e1+λ2e2.
(图2)
问题1 是不是平面内每一个向量都可以分解成两个不共线的向量?这样的分解是否唯一?
问题2 对于平面上两个不共线的向量e1,e2,是不是平面上所有的向量都可以用它们来表示?[6]
平面向量根本定理 假设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2。
我们把不共线的向量e1,e2,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式,,e2互相垂直时,就称为向量的正交分解。
定理理解
(1)基底e1,e2必须不共线;
(2)λ1,λ2是被e1,e2,a唯一确定的实数对。
考虑 平面向量根本定理和前面所学的向量共线定理,在内容和表述形式上有什么区别和联络?(平面向量根本定理是向量共线定理的推广)
三、数学运用
【例1】 (教材第75页例1)如图,▱ABCD的对角线AC和BD交于点M,=a,=b,试用基底a,b表示,,和.[7] (见学生用书P45)
(例1)
[处理建议] 引导学生利用关系式=+和=-,和平行四边形的对角线互相平分来求解.
[标准板书] 解 =+=a+b,=—=a—b.
∵平行四边形的对角线互相平分,
∴==a+b,=-=—a—b,
∴==a-b,=—=b-a.
[题后反思] 根据平面向量根本定理,选择适当的基底,将有关向量用基底线性表示,这样可通过向量运算来解决有关问题。
变式 在▱ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,=λ+μ,其中λ,μ∈R,那么λ+μ=。[8]
[处理建议] 引导学生选择适当的基底解决问题;并讨论不同基底的解法,激发学生的创新意识.
[标准板书] 解 设=b,=a,那么=b-a,=b—a,=b—a。
∵=λ+μ,
∴
解得λ=μ=,∴λ+μ=.
【例2】 (教材第75页例3)设e1,e2是平面内的一组基底,假设=3e1—2e2,=4e1+e2,=8e1—9e2,求证:A,B,D三点共线。[9] (见学生用书P46)
[处理建议] 引导学生分析:欲证A,B,D共线,只需证明共起点的两个向量共线,让学生讨论“共起点”的必要性,进步学生思维的活泼性。
[标准板书] 证明 ∵=++=(3e1—2e2)+(4e1+e2)+(8e1-9e2)=15e1—10e2=5(3e1—2e2)=5,∴和共线。
又∵和有公共的起点A,∴A,B,D三点共线.
[题后反思] 当出现三点共线时,转化为共起点的两个向量共线问题求解;选择适当的基底是寻求两向量共线的根底,即将共起点的两向量化归到一组基底线性表示,共线问题就很容易解决了。
变式 设两个非零向量e1和e2不共线.
(1)假设=e1—e2,=3e1+2e2,=-8e1—2e2,求证:A,C,D三点共线;
(2)假设=e1+e2,=2e1—3e2,=2e1-ke2,且A,C,D三点共线,求k的值。
[标准板书] 解 (1)=+=4e1+e2=—(-8e1—2e2)=-,∴和共线。
又∵和有公共点C,∴A,C,D三点共线.
(2)=+=(e1+e2)+(2e1—3e2)=3e1—2e2。
∵A,C,D三点共线,∴和共线,
从而存在实数λ,使得=λ,
即3e1—2e2=λ(2e1-ke2),
∴解得λ=,k=。
【例3】 如图,在△ABC中,M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC,AM和BN相交于点P,求AP∶PM的值.[10] (见学生用书P46)
(例3)
[处理建议] 分析题设中的条件,A,P,M三点共线,B,P,N三点共线,可得向量共线,从而可由向量共线定理和平面向量根本定理建立方程组求解.
[标准板书] 解法一 设=e1,=e2,那么=+=-3e2—e1,=+=2e1+e2.
∵A,P,M和B,P,N分别共线,
∴存在实数μ,λ,使得=λ=-3λe2—λe1,=μ=2μe1+μe2,
∴=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
又=+=2e1+3e2,
∴解得
∴=,=,
∴AP∶PM=4∶1.
解法二 设=λ。
∵=(+)=+.
∴=+λ。
∵B,P,N三点共线,
∴存在实数t,使得=t,
即—=t(—),
∴=(1+t)—t,
∴解得λ=,
∴AP∶PM=4∶1。
[题后反思] 解题的关键是由点共线转化为向量共线,表达了转化的数学思想。
(例4)
*【例4】 如图,在△OAB中,=,=,AD和BC交于点M,设=a,=b。
(1)用a,b表示;
(2)在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过M点,设=p,=q,求证:+=1.
[标准板书] 解 (1)设=ma+nb,那么=+=(m-1)a+nb,=+=-a+b。
∵点A,M,D共线,∴和共线,
∴=,∴m+2n=1。 ①
=—=a+nb,=—=—a+b.
∵点C,M,B共线,∴和共线,∴=,∴4m+n=1. ②
联立①②可得m=,n=,∴=a+b。
(2)=a+b,=-pa+qb,
∵和共线,∴=,∴q—p·q=-p,即+=1.
四、课堂练****br/>▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,那么=—a+b(用a,b表示)。
提示 由=3,得4=3=3(a+b).由M是BC的中点得=a+b,所以=(a+b)—(a+b)=-a+b.
2。在△ABC中,D是AB边上一点,假设=2,=+λ,那么λ=.
提示 ∵=2,∴=+=+=+(—)=+,那么λ=。
3。设a,b是不共线向量,且a+2b=(x-1)a+yb,那么x=2,y=2.
提示 ∵a,b不共线,∴解得
,b不共线,假设ma+b和a-nb平
行,那么mn=—1.
提示 ∵ma+b和a-nb平行,∴存在实数λ,使得ma+b=λ(a-nb),∴解得mn=—1。
五、课堂小结
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