2.4.1 函数的零点4.doc

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《函数的零点》教学设计
河北石家庄市二十四中学阿文彦
一、教学内容分析
本课题是普通高中课程标准实验教科书数学1(必修)人教B版第二章《函数》,第4节函数和方程的第一课时,本节课的主要内容是函数零点的定义,《二分法》,作为一条主线贯穿了全章的始终,而方程的根和函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解,“函数和方程”和“数形结合”的数学思想.
二、教学目的分析
知识和技能目的:理解函数零点的意义,理解函数的零点和方程根的关系,会求简单函数的零点,能判断二次函数零点的存在性,并能对零点存在定理进展简单的应用.
过程和方法目的:引导学生学会用转化和数形结合思想方法研究问题,进步数学知识的综合应用才能。;体验函数零点存在定理的形成过程,初步感受零点存在定理在解题中的应用.
情感态度和价值观目的:让学生初步体会事物间互相转化和特殊到一般的辨证思想.
三、教学根本条件分析
:学生有较好的数学根底和数学理解才能,喜欢考虑,乐于探究.
:前面学****一次函数和二次函数时,老师对函数和方程的联络已经
做了适当的浸透.
:支持幻灯片展示.
四、教学重难点分析
教学重点:函数零点的定义的理解.
教学难点:正确理解函数零点的断定方法的不可逆性;函数和方程的联络及应用.
五、教学过程设计
(一)开门见山,提醒课题
前几节课我们一起整理了一次函数和二次函数的图象和性质,初步学****了研究函数的一般方法,今天我们通过研究函数的另一个重要知识,来进一步感受函数和方程的联络.
y
o
3
-2
x
问题引入:二次函数y=x2-x-6,试问x取什么值时,y=0?
并画出二次函数y=x2-x-6的图象.
方程有几个根,y=f(x)的图象和x轴就有几个交点;
方程的根就是图象和x轴交点的横坐标.
-2、3在方程中称为实数根,对函数来说称为零点.
 (板书课题)函数的零点
定义:假设函数在实数x0处的值等于零,即f(x0)=0,那么x0叫做这个函数的零点.
注意:零点不是点.
设计意图:因为对这个定义的直观理解不难,所以直接给出,意为锻炼学生的数学阅读理解的才能,同时老师对这个概念暂时不加分析的处理为后面的设计作铺垫.
由此得出:函数和方程的关系.
x0是方程f(x)=0的实数根
f(x)的图象和x轴交点(x0,0)
x0是函数f(x)的零点
(二)设问疑问,引导探究
例1:求出以下函数的零点,并作出函数的图象.
(1)y=x2-2x+1(2)y=x2+x+1
解:过程略.
设计意图:(二阶)零点的含义;不是所有的函数都有零点.
(幻灯片展示)上面我们给出的三个函数都是一元二次函数,那么你能总结出对于一般的一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它的零点的情况和什么有关?
预设答案:和方程的判别式有关.
当△>0时,一元二次方程有两个不等的实数根x1,x2,相应的二次函数的图象和x轴有两个交点
(x1,0),(x2,0),函数有两个零点x1,x2;【变号零点】
当△=0时,一元二次方程有两个相等的实数根x1=x2,相应的二次函数的图象和x轴有一个交点
(x1,0),函数有一个二重零点x1;【二阶零点】
当△<0时,一元二次方程没有实数根,相应的二次函数的图象和x轴没有交点,函数没有零点.
设计意图:让学生在总结二次函数零点情况的过程中,理清方程的根、函数图象和x轴交点的横坐标和函数的零点之间的逻辑关系.
通过图象看到函数零点的性质:
①图象通过零点穿过x轴时,函数值变号.-—变号零点;
②零点把x轴分成的每个区间上函数值保持同号.
研究函数的零点也就是研究相应方程的实数根,也就是研究函数的图象和x轴的交点情况.
(三)利用方程,研究函数
=x3-2x2-x+2的零点并画出函数的图象(简图).
问题1:函数零点把x轴分成了几部分?请考察在函数每个区间内函数值的符号.
问题2:请仔细观察表格,你能发现哪些规律?(让学生观察发现)
预设答案:零点两侧符号相反.
问题3:是所有函数零点两侧函数值的符号都相反吗?
预设答案:不是,譬如函数y=x2-2x+.
   设计意图:学生应用函数和方程的联络,通过方程研究函数的性质,,研究的过程也是在为后面发现零点存在定理作方法上的铺垫.
(四)探究发现“零点存在定理”

例3:函数f(x)=x+b在(-1,1)上存在零点,求b的取值范围.
解:法一:求零点;
(由老师引导)法二:由题意:f(-1)·f(1)<0,解得b∈(-1,1).
通过以上分析,请同学们考虑,函数在某区间(a,b)上是否存在零点,和该区间的端点函数值的符号情况是否有某种关系?
探究:假设函数y=f(x)在区间(a,b)内满足f(a)·f(b)<0,那么f(x)在区间(a,b)内是否存在零点?
,再通过小组讨论,最后全班交流.
探究①:观察图象,归纳函数y=f(x)在区间端点的函数值f(a),f(b)的正负情况.
预设答案:f(a)·f(b)<0或f(a)·f(b)>0.
探究②:函数y=f(x)具备了什么条件,就可确定函数在区间(a,b)上存在零点呢?
预设答案:f(a)·f(b)〈0.
探究③:具备上述特征的函数y=f(x)是否在区间(a,b)上一定存在零点?
预设答案::y=[a,b]上必须是连续不断的.
探究④:假设连续函数f(x)满足f(a)·f(b)<0,那么在区间(a,b)上存在唯一的零点吗?
预设答案:“至少存在一个".
师生归纳总结:函数y=f(x)在(a,b)上存在零点的条件.
预设答案:①函数图象连续不断;②区间端点函数值满足f(a)·f(
b)〈0.

假设函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)〈0,那么,函数
y=f(x)在区间(a,b)内至少存在一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0.
(五)总结升华
问题:通过本节课的学****你在知识、数学思想方法等方面有哪些收获?
设计意图:通过小结,理清思路,归纳总结,更好的掌握知识技能,理解数学思想方法,进步解决问题的经历.
学生活动,老师进展简要的概括和升华.
(六)作业
课本P72练****A1、2;P75****题2-4A3、4、5、6.
六、板书设计(略)
七、课后反思
方程的根和函数的零点是高中课程标准新增的内容,外表上看,这一内容的教学并不困难,但要让学生可以真正理解,,突出思想方法像这些中学新增内容的教学,教学就要获得成功确实不易,需要一个不断理论和理论后的反思的过程,在理论和反思的过程中,不仅要妥善解决上述问题,还要不断地发现和解决新的问题,这样,教学效果才会逐步得到改善.
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