二、三元函数条件极值方法再议.docx

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张东仓
[摘      要] 主要针对目前高等数学教材中普遍存在的多元函数(二元、三元)条件极值问题处理的不够完整进行再次探讨,并结合举例给出佐证。从而解决了二、三元函数带有约束条件时的极值求解问题。
[关  键  词] 二元函数;三元函数;条件极值
[] G712        [文献标志码] A     [] 2096-0603(2020)19-0228-02
多元函数条件极值的求解,在多数高等数学教材中均有提及,而且多以二元函数为例来进行阐述,当约束条件比较简单,即容易由隐函数φ(x,y)显化为y=φ(x)时,可将其代入目标函数z=f(x,y)中(代入法),将其转化为一元函数进行极值求解;或者借助构造辅助函数,利用拉格朗日乘数法来进行求解。但是多数教材均未涉及拉格朗日乘数法得到的可能的极值点,到底是否为极值点或者到底为极大值点还是极小值点?文[1]中作者提到一个不错的方法,但是对其中提到的拉格朗日乘数法中的参数的看法,笔者认为不妥。本文主要对此提出自己的看法,另一方面,对文[1]中的方法进行拓展,得到三元函数条件极值的判别方法。
首先,文[1]中提到在求解目标函数为z=xy,约束条件为x+y=1时的极值问题时,解法一(代入法)采用了将约束条件x+y=1变形为y=l-x,即显化,再代入目标函数z=xy中,从而将目标函数转化为z=x(1-x),即一元函数求解极值,此法没有问题。但是,他在利用拉格朗日乘数法得到可能的驻点后,利用二元函数极值存在的充分条件,对函数F(x,y)=xy+λ(x+y-1)进行验证时出错,从而认为解法二错误,理由是该法中的参数λ应该为变量,而不是常
,在得到可能的驻点x=时F(x,y)y-1),它的图象如图1所示。
而该题目是求解图2中目标函数z=xy(曲面)与x+y=1(平面)的交线上的极值,由图1可以看出,函数F(x,x+y-1)在驻点x处确实不取得极值,由此得出目标函数z=xy在约束条件x+y=1下无极值肯定是错误的,因为它们是两个不同的极值求解问题。
其次,文[1]解法二验证中提到参数λ应该为变量,笔者认为不妥。理由一是:文[2]第69页中提到λ为某一常数、文[3]第115页中-λ,可以看出λ为某一常数且与文[4]第117页一致;二是:文[5]中第198页函數L(x,y,u,v)=f(x,y,u,v)+αg(x,y,u,v)+βh(x,y,u,v),而不是L(x,y,u,v,α,β)=f(x,y,u,v)+αg(x,y,u,)+βh(x,y,u,v),可以看出,文[1]中的拉格朗日乘数λ应该为常数;三是:有的资料显示将拉格朗日乘数均视为变量,其目的还是得到方程组中的约束条件而已,而约束条件一般都是题目中直接给出的,对辅助函数关于拉格朗日乘数求偏导意义不大。
文[1]第58页在推导zxx"的公式时,认为fxy"(x,y)=fyx"(x,y),应注意强调,一般情况下,只有它们在区域D内连续时才认为是相等的。具体见文[6]第231页定理。
对于三元函数w=f(x,y,z),在约束条件φ(x,y,z)=0下的极值问题处理,亦可借助文[1]的思想进行(文[1]针对的是二元函数),即构造辅助函数L(x,y,z)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),对其关于x,y,z求偏导数,并令其等于零结合约束条件,可得
fx'(x,y,z)+λφx'(x,y,z)=0fy'(x,y,z)+λφy'(x,y,z)=0fz'(x,y,z)+λφz'(x,y,z)=0φ(x,y,z)=0(*)联立解出驻点(x0,y0,z0)
为了进一步验证驻点是否为极值点和是极大值点还是极小值点,(x,y,z)=0确定了z是变量x,y的函数,即z=φ(x,y)。为此,进行如下计算:
wx'=fx'(x,y,z)+fz'(x,y,z)·zx',w'y=fy'(x,y,z)+
fz'(x,y,z)·zy'
wxx"=fxx"(x,y,z)+fxz"(x,y,z)·zx'+[fzx"(x,y,z)+fzz"(x,y,z)·zx']·zx'+fz'(x,y,z)·zxx"
wyy"=fyy"(x,y,z)+fyz"(x,y,z)·zy'+[fzy"(x,y,z)+fzz"(x,y,z)·zy']·zy'+fz'(x,y,z)·zyy"
wxy"=fxy"(x,y,z)+fxz"(x,y,z)·zy'+[fzy"(x,y,z)+fzz"(x,y,z)]·zx'+fz'(x,y,z)·zxy"
这样,可得A=wxx作答即可。
举例:求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积。
文[2]在第70页对此题目已经有解答,设长方体的长宽高分别为x,y,z,构造的辅助函数为F(x,y,z)=xyz+λφ(x,y,z),其中φ(x,y,z)=2xy+2yz+2xz-a2且x>0,y>0,z>0利用(*)可得方程组,并解出驻点为(,文[2]对此可能的极值点未作出进一步的确认,.
首先计算目标函数V=xyz的两个偏导数:Vx'=yz+xyzx',Vy'=yz+xyzy',其中由约束条件2xy+2yz+2xz-a2=0可得则有:
尽管二、三元函数条件极值问题的处理方法比较多,但从适合学生理解的程度来说,该方法思路简单,计算量亦比较小,且不容易受题型中约束条件形式上的限制。
Reference:
[1][J].金融教学与研究,1994(3):57-59.
[2](下册)[M],2004.
[3](下册)[M].,2008.
[4](下册)[M].,2014.
[5]陈传璋,金福临,朱学炎,[M].第二版,高等教育出版社,1994.
[6]舒底清,(工科类)[M].高等教育出版社,2018.
◎编辑张慧
 
-全文完-