沪教版八年级数学下第二十二章《四边形》全章复习与巩固(提高)知识讲解讲义.docx

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《四边形》全章复****与稳固(提升)
【学****目标】
1.
掌握多边形内角和与外角和公式,灵巧运用多边形内角和与外角和公式解决相关问题
.
2.
掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的观点
,认识它们之间的关系.
掌握它们
的性质和鉴别方法,并能运用这些知识进行证明和计算.
3.
掌握三角形和梯形的中位线定理,并能灵巧应用.
4.
认识平面向量的观点,能求两个向量的加法和减法运算
.
【知识网络】
【重点梳理】
重点一、多边形内角和定理、外角定理
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3).
重点解说:(1)内角和定理的应用:①已知多边形的边数,求其内角和;②已知多边形内角和求其边数;
(2)正多边形的每个内角都相等,都等于
(n2)180°
;
多边形的外角和为360°.n边形的外角和恒等于
n
360°,它与边数的多少没关.
重点二、平行四边形
定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
性质:(1).边的性质:平行四边形两组对边平行且相等;
(2).角的性质:平行四边形邻角互补,对角相等;
(3).对角线性质:平行四边形的对角线相互均分;
(4).平行四边形是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.
判断:(1).两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
2).两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
3).一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
4).两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
5).对角线相互均分的四边形是平行四边形.
平行线的性质
1)平行线间的距离都相等
2)等底等高的平行四边形面积相等
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重点三、特别的平行四边形
矩形、菱形、正方形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
有一组邻边相等而且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.
矩形的性质:;
;
;
,它有两条对称轴.
矩形的判断:.
.
:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
菱形的性质:;
,而且每一条对角线均分一组对角;
,它有两条对称轴.
菱形的判断:.
.
:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
正方形的性质:,四条边都相等.
,每条对角线均分一组对角.
,有4条对称轴;又是中心对称图形,两条对角线的
交点是对称中心.
正方形的判断:.
.
重点四、梯形
定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形;有一个角是直角的梯形叫直角梯
形;有两条腰相等的梯形叫做等腰梯形.
等腰梯形性质:(1)两底平行,两腰相等;
2)同一底边上的两个角相等;
3)两条对角线相等;
4)轴对称图形(底的中垂线就是它的对称轴).
(上底+下底)高
面积:S梯形=
2
等腰梯形判断:(1)两腰相等的梯形是等腰梯形;
2)同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形;
3)对角线相等的梯形是等腰梯形.
解决梯形问题的常用方法(以下列图所示):
1)“作高”:使两腰在两个直角三角形中.
2)“移对角线”:使两条对角线在同一个三角形中.
3)“延伸两腰”:结构拥有公共角的两个三角形.
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4)“等积变形”:连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延伸交下底的延伸线于一点,
.
转变
综上,解决梯形问题的基本思路:梯形问题三角形或平行四边形问题,这
切割、拼接
种思路常经过平移或旋转来实现.
三角形、梯形的中位线
联络三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半.
联络梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.
梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底,而且等于两底和的一半.
重点五、平面向量
平面向量的观点:既有大小,,b,c来表示,或用
有向线段的起点与终点的大写字母表示,如:(或向量
的模),记作|AB|或|a|.向量不可以比较大小,但向量的模能够比较大小.
方向同样且长度相等的两个向量叫做相等的向量.
方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量.
方向同样或相反的两个向量叫做平行向量.
平面向量的加法:
向量加法的三角形法例:求不平行的两个向量的和向量时,只需把第二个向量与第一个向量首尾相接,那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向
,BCb,则ab=ABBC=AC.
向量加法的平行四边形法例:假如a,b是两个不平行的向量,那么求它们的和向量时,
任取一点为公共起点,作两个向量分别和a,b相等;再以这两个向量为邻边作平行四边形;
而后以所取的公共起点为起点,作这个平行四边形的对角线向量,则这一对角线向量就是a
与b的和向量.
向量的加法知足互换律a
bba,知足联合律(ab)c
a(bc).
零向量:长度为
0的向量,记为
0,其方向是随意的,
0与随意愿量平行零向量.
a=0
|a|=.
平面向量的减法:已知两个向量的和及此中一个向量,
求另一个向量的运算叫做向量的减法.
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
向量减法的三角形法例:在平面内任取一点,
以这点为公共起点作出这两个向量,
那么
它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量
.
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重点解说:(1)用平行四边形法例时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已
知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量.
2)三角形法例的特色是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点
指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时,用平行四边形法例;当两向量是首尾连结时,:
ABBCCDPQQRAR,但这时一定“首尾相连”.
【典型例题】
种类一、多边形
1、若一个多边形的每个外角都等于
60°,则它的内角和等于(
)
°
°°°
【思路点拨】由一个多边形的每个外角都等于
60°,依据n边形的外角和为
360°计算出多
边形的边数n,而后依据n边形的内角和定理计算即可.
【答案】B;
【分析】
解:设多边形的边数为
n,
∵多边形的每个外角都等于
60°,
∴n=360°÷60°=6,
∴这个多边形的内角和=(6-2)×180°=720°.
【总结升华】本题考察了n边形的内角和定理:
n边形的内角和=(
n-2)?180°;也考
查了n边形的外角和为
360°.
种类二、平行四边形
2、如图,点D是△ABC的边AB的延伸线上一点,点
F是边BC上的一个动点(不与点
B重合).以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF,又APBE(点P、E在直线AB的
同侧),假如
BD=1AB,那么△PBC的面积与△ABC面积之比为(
)
4


C
.1
D
.3
4
5
5
4
【答案与分析】
解:过点P作PH∥BC交AB于H,连结CH,PF,
∵APBE,
∴四边形APEB是平行四边形,
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∴PE∥AB,PE=AB,
∵四边形BDEF是平行四边形,
∴EF∥BD,EF=BD,
即EF∥AB,
∴P,E,F共线,
设BD=a,∵BD=1
AB,∴PE=AB=4a,
4
则PF=PE-EF=3a,
∵PH∥BC,
∴S△HBCS△PBC,
∵PF∥AB,
∴四边形BFPH是平行四边形,
∴BH=PF=3a,
∵S△HBC:S△ABC=BH:AB=3a:4a=3:4,
∴S△PBC:S△ABC=3:4.
【总结升华】本题考察了平行四边形的判断与性质与三角形面积比的求解方法.
本题难度较
大,注意正确作出协助线,注意等高三角形面积的比等于其对应底的比.
贯通融会:
【变式】已知△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,分别以AB、AC、BC为一边在BC边同侧作正△ABD、正△ACE和正△BCF,求以A、E、F、D四点为极点围成的四边形的面积.
【答案】
证明:∵AB=3,AC=4,BC=5,
∴∠BAC=90°
∵△ABD、△ACE和△BCF为正三角形,
AB=BD=AD,AC=AE=CE,BC=BF=FC,
1+∠FBA=∠2+∠FBA=60°
∴∠1=∠2
易证△BAC≌△BDF(SAS),
DF=AC=AE=4,∠BDF=90°
同理可证△BAC≌△FEC
AB=AD=EF=3
∴四边形AEFD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
DF∥AE,DF⊥BD
延伸EA交BD于H点,AH⊥BD,则H为BD中点
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∴平行四边形AEFD的面积=DF×DH=4×3=6.
2
种类三、特别的平行四边形
3、如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点,
且AE=BF=CG=DH.
1)求证:四边形EFGH是矩形;
2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点,且DG⊥AC,OF=2cm,求矩形
ABCD的面积.
【答案与分析】
1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=0B=OC=OD,∵AE=BF=CG=DH,
∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,即:OE=OF=OG=OH,
∴四边形EFGH是矩形;
2)解:∵G是OC的中点,
∴GO=GC,
∵DG⊥AC,
∴∠DGO=∠DGC=90°,
又∵DG=DG,
∴△DGC≌△DGO,
∴CD=OD,
∵F是BO中点,OF=2cm,
∴BO=4cm,
∵四边形ABCD是矩形,
∴DO=BO=4cm,
∴DC=4cm,DB=8cm,
∴CB=DB2
DC2
4
3,
∴矩形ABCD的面积=4×4
3163cm2.
【总结升华】本题主要考察矩形的判断,第一要判断四边形是平行四边形,而后证明对角线相等.
贯通融会:
【变式】如图,O为△ABC内一点,把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G挨次连结形成四边形DEFG.
1)四边形DEFG是什么四边形,请说明原因;
2)若四边形DEFG是矩形,点0所在地点应知足什么条件?说明原因.
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【答案】
解:(1):
∵D、G分别是AB、AC的中点,
∴DG是△ABC的中位线;
∴DG∥BC,且DG=1BC;
2
同理可证:EF∥BC,且EF=1BC;
2
∴DG∥EF,且DG=EF;
故四边形DEFG是平行四边形;
2):连结OA;
同(1)可证:DE∥OA∥FG;∵四边形DEFG是矩形,
∴DG⊥DE;∴OA⊥BC;
即O点在BC边的高上且A和垂足除外.
4、如图,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=,BD订交于点
O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.
1)证明:当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;
2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;
3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?假如不可以,请说明原因;假如能,说明原因并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
【思路点拨】(1)当旋转角为90°时,∠AOF=90°,由AB⊥AC,可得AB∥EF,即可证明四边形ABEF为平行四边形;(2)证明△AOF≌△COE即可;(3)当EF⊥BD时,四边形BEDF
为菱形,又由AB⊥AC,AB=1,BC=5,易求得OA=AB,即可得∠AOB=45°,求得∠AOF
45°,则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°.【答案与分析】
(1)证明:当∠AOF=90°时,AB∥EF,
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又AF∥BE,
∴四边形ABEF为平行四边形.
(2)证明:四边形ABCD为平行四边形,
AO=CO,∠FAO=∠ECO,∠AOF=∠COE.
∴△AOF≌△COE
AF=CE
3):如图,连结BF,DE,
由(2)知△AOF≌△COE,得OE=OF,
∴EF与BD相互均分.
∴当EF⊥BD时,四边形BEDF为菱形.
在Rt△ABC中,AC
512,
OA=1=AB,又AB⊥AC,∴∠AOB=45°,∴∠AOF=45°,
AC绕点O顺时针旋转45°时,四边形BEDF为菱形.
【总结升华】要证明四边形菱形,先证明这个四边形是平行四边形,再利用对角线相互垂直
的特色证明该平行四边形是菱形.
贯通融会:
【变式】已知:以下图,BD是△ABC的角均分线,EF是BD的垂直均分线,且交AB于E,
:四边形BFDE是菱形.
【答案】
证明:∵EF是BD的垂直均分线,
EB=ED,∠EBD=∠EDB.
又∵∠EBD=∠FBD,
∴∠FBD=∠EDB,ED∥,DF∥BE,
∴四边形BFDE是平行四边形.
又∵EB=ED,
∴四边形BFDE是菱形.
5、正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE
绕点D逆时针旋转90°,获得△DCM.
1)求证:EF=FM;
2)当AE=1时,求EF的长.
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【答案与分析】
解:(1)证明:∵△DAE逆时针旋转90°获得△DCM,
∴DE=DM,∠EDM=90°,
∴∠EDF+∠FDM=90°,
∵∠EDF=45°,
∴∠FDM=∠EDM=45°,
在△DEF和△DMF中,
,
DEDM
EDFMDF
DFDF
∴△DEF≌△DMF(SAS),
EF=MF;
2)设EF=MF=x,
∵AE=CM=1,且BC=3,
BM=BC+CM=3+1=4,
BF=BM-MF=BM-EF=4-x,∵EB=AB-AE=3-1=2,
在Rt△EBF中,由勾股定理得
EB2+BF2=EF2,
即22
4
x
2
x2,
解得:x
5
,则EF=
5.
2
2
【总结升华】本题考察了正方形的性质,旋转的性质,全等三角形的判断与性质,以及勾股定理,利用了转变及方程的思想,:
【变式】如图(1),正方形ABCD和正方形CEFG有一公共极点C,且B、C、E在向来线上,连结BG、DE.
(1)请你猜想BG、DE的地点关系和数目关系?并说明原因.
(2)若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后,如图(2),BG和DE能否还存在上述关系?若存在,试说明原因;若不存在,也请你给出原因.
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【答案】
解:(1)BG=DE,BG⊥DE;
原因是:延伸BG交DE于点H,
因为BC=DC,CG=CE,∠BCG=∠DCE
因此△BCG≌△DCE,
因此BG=DE,∠GBC=∠CDE.
因为∠CDE+∠CED=90°,
因此∠GBC+∠DEC=90°,得∠BHE=90°.
上述结论也存在.
原因:设BG交DE于H,BG交DC于K,
同理可证△BCG≌△DCE,
得BG=ED,∠KBC=∠KDH.
又因为∠KBC+∠BKC=90°,
可得∠DKH+∠KDH=90°,进而得∠KHD=90°.
种类四、梯形
6、以下图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm,
动点P从点A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动,P、Q分别从点A、,另一点也随之停止运动,,四边形PQCD为平行四边形和等腰梯形?
【思路点拨】若四边形PQCD是平行四边形,则必有PD=CQ,作DE⊥BC于E,若四边形PQCD
是等腰梯形,由等腰梯形的轴对称性,必有QC-PD=2EC,利用这些关系即可求出相应的时
间t.
【答案与分析】
解:(1)设运动时间为t,则AP=t,CQ=3t
PD=24-t
若四边形PQCD是平行四边形,必有PD=CQ,即24-t=3t
t=6(s)
当t=6s时,四边形PQCD是平行四边形.
过点D作DE⊥BC于E
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