自动控制数学模型(与“变换”有关的文档共89张).pptx

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拉氏变换的引入
拉普拉斯变换简称拉氏变换,是一种函数的变换,经变换后,可将微分方程变换成代数方程式,且在变换的同时引入初始条件,避免了经典解法中求积分常数的麻烦,拉氏变换可使微分方程求解的过程大大简化。
在经典自动控制理论中,自动控制系统的数学模型是建立在传递函数的基础上,而传递函数又是建立在拉氏变换的基础上,故拉氏变换是经典控制理论的数学基础。
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一、拉氏变换的概念
说明:
由于是一个积分式,t将在新函数中消失。故F(s)只取决于s,它是复变数s的函数。拉氏变换将原来的实变量函数f(t)转化为复变量函数F(s)。通常称f(t)为原函数,F(s)为象函数。存在一一对应关系。
定义:将实变量t的函数f(t),乘以指数函数e-st(其中,s=σ+jω,是一个复变函数),再在0到∞对时间t进行积分,得到一个新的函数F(s)。那么,F(s)称为f(t)的拉氏变换式,用符号L[f(t)]表示。即:
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3、微分定理
在零初始条件下,即:
则:
二、拉氏变换定理
1、叠加定理:两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即:
2、比例定理:K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍,即:
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5、延迟定理
当原函数f(t)延迟τ时间,成为f(t-τ)时,其拉氏式为:
说明:在零初始条件下,原函数的n重积分的拉氏式
等于其象函数除以。
4、积分定理
在零初始条件下,即:
则:
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6、终值定理
说明:原函数在t→∞时的数值(稳态值),可以通过将象函数
F(s)乘以s后,再求s→0的极限值来求得。
7、位移定理
若L[f(t)]=F(s),则对任一常数a,有
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三、常用函数拉氏变换对照表
序号
原函数
象函数
单位脉冲
1
单位阶跃
单位斜坡
1
2
3
4
5
6
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7
8
9
10
11
0<ξ<1
12
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13
14
15
0<ξ<1
0<ξ<1
ξ>1
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例1、已知f(t)=1-2cosωt,求F(s)
解:F(s)=L[f(t)]=L[1-2cosωt]
例2、求如图所示的方波的拉氏变换。
解:方波的表达式可写为:
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