“隔板法”解决排列组合问题【范本模板】.docx

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排列组合计数问题,背景各异,方法灵便,能力要求高,对于相同元素有序分组问题,
采用“隔板法”可起到简化解题的功能。对于不相同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔
板法来求解,下面经过典型例子加以解决。
例1、(1)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,问每个盒子中最少有一个小球的不相同放法有多少种?
2)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,问不相同放法有多少种?
3)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中要求每个盒子中,要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数,问不相同的方法有多少种?
解:(1)将12个小球排成一排,中间有
11个间隔,在这
11个间隔中选出
3个,放上“隔
板”,若把“1”看作隔板,则如图
隔板将一排球分成四块,从左到右可
以看作四个盒子放入的球数
,即上图中
1,2,3,4四个盒子相应放入
2个,4个,4个,2
个小球,这样每一种隔板的插法,就对应了球的一种放法
,即每一种从
11个间隔中选出3
个间隔的组合对应于一种放法
,所以不相同的放法有
C113=165种。
(2)法1:(分类)①装入一个盒子有
C41
4种;②装入两个盒子,即
12个相同的小球
装入两个不相同的盒子,每盒最少装一个有
C42C111
66种;③装入三个盒子,即12个相同的
小球装入三个不相同的盒子,每盒最少装一个有
C43C112=220种;④装入四个盒子,即12个相同
的小球装入四个不相同的盒子,每盒最少装一个有
C113
165种;由加法原理得共有
4+66+220+165=455种。
法2:先给每个小盒装入一个球,题目中给定的
12个小球任意装,即
16个小球装入4
个不相同的盒子,每盒最少装一个的装法有
C153
455种。
(3)法1:先给每个盒子装上与其编号数相同的小球,还剩
2个小球,则这两个小球可
以装在1个盒子或两个盒子
,共有C41
C42
10种.
法2:先给每个盒子装上比编号小
1的小球,还剩6个小球,则转变成将
6个相同的小球
装入4个不相同的盒子,每盒最少装一个
,由隔板法有C53
10
由上面的例题可以看出法2要比法1简单,即此类问题都可以转变成最少分一个的问题。
例2、(1)方程x1
x2
x3
x4
10的正整数解有多少组?
(2)方程x1
x2
x3
x4
10的非负整数解有多少组?
(3)方程2x1
x2
x3
x10
3的非负整数整数解有多少组
?
解:(1)转变成
10个相同的小球装入
4个不相同的盒子,每盒最少装一个
,有C93
84种,
所以该方程有
84组正整数解。
(2)转变成
10个相同的小球装入4个不相同的盒子,可以有空盒
,先给每个小盒装一个,
进而转变成14
个相同的小球装入
4个不相同的盒子,每盒最少装一个,有
C133
286种,所以
该方程有286组非负整数整数解.
(3)当x10时,转变成3个相同的小球装入9个不相同的盒子,可以有空盒,有C113
165种.
当x11时,转变成
1个小球装入9个不相同的盒子,可以有空盒,有C91
=9种;所以该方程有
165+9=174组非负整数整数解。
例3、已知会集
,选择
的两个非空子集A,B,且A中最大的元素比B中
最小的元素小,则选择方法有多少种?
解:由题意知

A,B

的交集是空集,且

A,B

的并集是

的子集

C

,所以

C最少含有两个元素,
将C中元素按从小到大的序次排列,

尔后分为两部分,前边的给

A,后边的给

B,

A,B

最少
含有1个元素,设C中有n个元素,则转变成n个相同的小球装入
2个不相同的盒子,则有Cn1
种装法,故本题有
C52
C53C21C54C31
C55C41
49种选择方法。
总之,凡是办理与“相同元素有序分组”模型时,我们都可采用“隔板法"。若每组元素
数目最少一个时,可用插“隔板”,若出现每组元素数目为0个时,向每组元素数目最少一
个的模型转变,尔后用“隔板”法加以解决。