有关几何图形的一些特殊结论.docx

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1•阅读材料:如图(1),△ABC的周长为L,内切圆O的半径为r,连结OA,OB,△ABC被划分为三个小三角形,用saaBc表示△ABC的面积.
O_OIOIO
△ABC△OAB△OBC△OCA
又5ab
1
=2aB・r'
S
△OBC
1
=2BC・r,
S
△OCA
1
=2ac・r
S
△ABC
1
=2aB
11
r+BC•r+CA•r
22
=2l・r(可作为三角形内切圆半径公式)
理解与应用:利用公式计算边长分为5,12,13的三角形内切圆半径;
类比与推理:若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆,如图(2)•且
面积为S,各边长分别为a,b,c,d,试推导四边形的内切圆半径公式;
拓展与延伸:若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆,且面积为S,各边长分别为州,驾,a3,…a,合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由).
123n
1.(1)2
2)r=
(3)r=
三角形的外接圆
过三角形三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆,三条边中垂线的交点,叫做三角形的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等.
锐角三角形的外心在三角形内部,钝角三角形的外心在三角形的外部,直角三角
c
形的外心在斜边中点,外接圆半径R二2(c为斜边长).
三角形的内切圆
到三角形三条边距离都相等的圆,叫三角形的内切圆,三角形中,三个内角平分线的交点,叫三角形的内心,三角形内心到三条边的距离相等,内心都在三角形的内部.
2S
若三角形的面积为S,周长为a+b+c,则内切圆半径为:r二严,当a,b
aabca+b+c
为直角三角形的直角边,c为斜边时,
内切圆半径r二
ab
a+b+c

(1)圆内接四边形的对角互补;
(2)圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角.
注意:①圆内接平行四边形为矩形;②圆内接梯形为等腰梯形.
:
圆的外切四边形对边和相等;
圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长.
一、特殊三角形直角三角形的外接圆和内切圆半径的求法。
例1、已知RtAABC中,ZC=900,AB=13,AC=5,BC=12,求外接圆半径R和内切圆
半径r值。
c13
解:由题意得;R-2二1
a+b—c5+12—13
r===2
22
二、非特殊三角形的外接圆和内切圆半径的求法。
例2、已知△ABC中,AB=13,AC=14,BC=15,求外接圆半径R和内切圆半径r值。
解:如图:作BC边上的高线AD;设BD=x
=15—x。由勾股定理得:AD2=AB2—BD2
CD2,
即:132—x2二142—(15—X》,得x=33;
再得:AD=56
1、先求内切圆半径:
根据s+b+c)r
AABC2
得:1X15X56二丄(13+14+15》
252
得:r=4
2、作厶ABC的外接圆©O,连接AO并延长交00于E,
连接。〔。则厶ABDs^AEC,
56
nIABAD”13了e65则二,即——二,得R=
AEAC2R148
r=
2、作厶ABC的外接圆OO,连接AO并延长交00于E,连接。〔。则厶ABE^^ADC,
AB
AD
AE
AC
即¥=51
得R=
13迈
2
三、小结
例2和例3中,求三角形内切圆半径是通过s二(a+b+c》公式,根据AABC2
三角形的面积和周长来达到目的。
求三角形外接圆半径是通过三角形相似来计算的。它们有一共同的特征就是要
求出一条边上的高线。
例2和例3中的三角形分别是锐角三角形和钝角三角形,为了避免在计算中分
类的问题,可统一为选择最长的一边为底边,再计算这条边上的高线即可,这时就不需考
虑这个三角形是锐角还是钝角三角形的问题。
处理球的“内切”“外接”问题
与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点,但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形,明确切点和接点的位置及球心的位置,画好截面图是关键,可使这类问题迎刃而解。
、棱锥的内切、外接球问题
?
分析:运用正四面体的二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系
解之。
解:如图1所示,设点O是内切球的球心,,,外接球半径为R.
正四面体的表面积S=4X,a2=\.;3a2.
表4
1J3J3
正四面体的体积V=—xa2xAE=
A-BCD34
a2
12
\AB2一BE2
巨a22-
12
語21
——a2
丿
二a3
12
•.丄S-r=V
3表A-BCD
3V
...r=——A—BCD
S
表
3J23
3xa3
12
x.'3a2
X''6
=a
12
在RtABEO中,BO2=BE2+EO2,即R2=
a,
得R=3r
【点评】由于正四面体本身的对称性可知,内切球和外接球的两个球心是重合的,为
h3h
正四面体高的四等分点,即内切球的半径为,(h为正四面体的高),且外接球的半径,,44从而可以通过截面图中RtAOBE建立棱长与半径之间的关系。
-ABCD的底面是正方形,且MA=MD,MA丄AB,如果AAMD
的面积为1,试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
解:•/AB丄AD,AB丄MA,「.AB丄平面MAD,
由此,面MAD丄面AC•记E是AD的中点,
,ME丄EF
设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球•如图2,得截面图AMEF及内切圆O
图2
不妨设Oe平面MEF,于是O是AMEF的内心.
2S
设球O的半径为r,则r二ef+eME;MF,设A"EF二a'•••Saamd=1•
EM二MF=:a2+a\i
r
2■
a+—+、'a2+
aH
当且仅当a=2,即a=迈时,等号成立.
a
.•.当AD=ME=迈时,满足条件的球最大半径为J2-1.
练****一个正四面体内切球的表面积为3兀,求正四面体的棱长。(答案为:『2)
点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置,作出截面图是解题的关键。
二、球与棱柱的组合体问题
:球与正方体的每个面都相切,切点为每个面的中心,显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a,球半径为R。
如图3,截面图为正方形
a
EFGH的内切圆,得R=2;
D1C1
图4
图5
:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,如图4作截面图,圆O为正方形EFGH的外接圆,易得R=
:正方体的八个顶点都在球面上,如图5,以对角面AA]作截面图得,圆O为矩形AACC的外接圆,易得R=AO=•a。
1112
例3•在球面上有四个点P、A、B、、PB、PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,那么这个球的表面积.
解:由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱,正方体的对角线长就是球的直径,连结过点C的一条对角线CD,则CD过球心O,对角线
CD=x3a
:.S
球表面积
练****一棱长为2a的框架型正方体,内放一能充气吹胀的气球,求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。(答案为V=fJ=目a3)
构造直三角形,巧解正棱柱与球的组合问题
正棱柱的外接球,其球心定在上下底面中心连线的中点处,由球心、底面中心及底面一
顶点构成的直角三角形便可得球半径。
-ABC的六个顶点在球0上,又知球0与此正三棱柱的5
11112
个面都相切,求球0与球0的体积之比与表面积之比。
12
分析:先画出过球心的截面图,再来探求半径之间的关系。
解:如图6,由题意得两球心0、0是重合的,过正三棱柱的一条侧棱AA和它们的
球心作截面,设正三棱柱底面边长为
正三棱柱的高为h=2R2
2
r3)
2
2
r3)
和D——a
+R2=
——a
+
VD——a
3
2
3
6
R2=
1
5
=a2
12
,•:R1=
S:S=R2:R2=5:1,V:V=5/5:1
121212
练****正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各顶点都在半径为R的球面上,求正四棱柱的侧
面积的最大值。(答案为:4迈R2)
【点评】“内切”和“外接”等有关问题,首先要弄清几何体之间的相互关系,主要是指特殊的点、线、面之间关系,然后把相关的元素放到这些关系中解决问题,作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系,是解决这类问题的最佳途径。